Стереотипное пространство

В функциональном анализе и связанных областях математики стереотипные пространства представляют собой класс топологических векторных пространств, выделяемый неким специальным условием рефлексивности. Этот класс обладает серией замечательных свойств, в частности, он весьма широк (например, содержит все пространства Фреше, и поэтому все банаховы пространства), он состоит из пространств, подчиненных определенному условию полноты, и образует замкнутую моноидальную категорию со стандартными аналитическими средствами построения новых пространств, такими как переход к замкнутому подпространству, фактор-пространству, проективному и инъективному пределам, пространству операторов, тензорным произведениям, и т. д.

Взаимные вложения основных классов локально выпуклых пространств

Определение и критерий стереотипности

Стереотипным пространством^[1] называется топологическое векторное пространство $X$ над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел^[2] такое, что естественное отображение во второе сопряженное пространство

$i:X\to X^{\star\star},\quad i(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^\star$

является изоморфизмом топологических векторных пространств (то есть линейным, биективным и гомеоморфным отображением). Здесь сопряженное пространство $X^{\star}$ определяется как пространство всех линейных непрерывных функционалов $f:X\to\mathbb{C}$, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в X, а второе сопряженное пространство $X^{\star\star}$ представляет собой пространство, сопряженное к $X^{\star}$ в этом же смысле.

Справедлив следующий критерий:^[1] топологическое векторное пространство $X$ стереотипно тогда и только тогда, когда оно локально выпукло и удовлетворяет следующим двум условиям:

• псевдополнота: всякая вполне ограниченная направленность Коши в $X$ сходится,
• псевдонасыщенность: всякое замкнутое выпуклое уравновешенное емкое множество $D$ в $X$ является окрестностью нуля в $X$ (множесство $D\subseteq X$ называется емким если для всякого вполне ограниченного множества $A\subseteq X$ существует конечное множество $F\subseteq X$ такое что $A\subseteq D+F$).

Псевдополнота представляет собой ослабление обычного свойства полноты, а псевдонасыщенность — ослабление свойства бочечности топологического векторного пространства.

Примеры

Всякое псевдополное бочечное пространство $X$ (в частности, всякое банахово пространство и всякое пространство Фреше) стереотипно. Метризуемое локально выпуклое пространство $X$ стереотипно тогда и только тогда, когда оно полно. Нормированное пространство $X$ с $X^{\star}$-слабой топологией стереотипно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Существуют стереотипные пространства, не являющиеся пространствами Макки.

История

Первые результаты, описывающие этот тип рефлексивности топологических векторных пространств, были получены М. Ф. Смит^[3] в 1952 году. В дальнейшем исследования в этой области проводились Б. С. Брудовским,^[4] У. С. Уотрехаусом,^[5] К.Браунером,^[6] С. С. Акбаровым,^[1][7][8] и Е. Т. Шавгулидзе.^[9]

Псевдопополнение и псевдонасыщение

Всякое локально выпуклое пространство $X$ можно превратить в стереотипное с помощью стандартных операций, описываемых следующими предложениями.^[1]

1. Каждому локально выпуклому пространству $X$ можно поставить в соответствие линейное непрерывное отображение $\triangledown_X: X\to X^\triangledown$ в некоторое псевдополное локально выпуклое пространство $X^\triangledown$, называемое псевдопополнением пространства $X$, таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

• $X$ псевдополно тогда и только тогда, когда $\triangledown_X: X\to X^\triangledown$ является изоморфизмом;
• для всякого линейного непрерывного отображения $\varphi:X\to Y$ локально выпуклых пространств существует единственное линейное непрерывное отображение $\varphi^\triangledown:X^\triangledown\to Y^\triangledown$ такое, что $\triangledown_Y\circ\varphi=\varphi^\triangledown\circ\triangledown_X$.

Интуитивно можно представлять себе псевдопополнение пространства $X$ как «ближайшее к $X$ снаружи» псевдополное локально выпуклое пространство, так что операция $X\mapsto X^\triangledown$ добавляет к $X$ некоторые элементы, но не меняет топологию $X$ (подобно обычной операции пополнения).

2. Всякому локально выпуклому пространству $X$ можно поставить в соответствие линейное непрерывное отображение $\vartriangle_X:X^\vartriangle\to X$ из некоторого псевдонасыщенного локально выпуклого пространства $X^\vartriangle$, называемого псевдонасыщением пространства $X$, таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

• $X$ псевдонасыщено тогда и только тогда, когда $\vartriangle_X:X^\vartriangle\to X$ является изоморфизмом;
• для вского линейного непрерывного отображения $\varphi:X\to Y$ локально выпуклых пространств существует единственное линейное непрерывное отображение $\varphi^\vartriangle:X^\vartriangle\to Y^\vartriangle$ такое что $\varphi\circ\vartriangle_X=\vartriangle_Y\circ\varphi^\vartriangle$.

Псевдопополнение пространства $X$ можно интуитивно представлять себе как «ближайшее к $X$ изнутри» псевдонасыщенное локально выпуклое пространство, так что операция $X\mapsto X^\vartriangle$ усиливает топологию $X$, но не меняет его элементы.

Категория стереотипных пространств

Класс Ste стереотипных пространств образует категорию с линейными непрерывными отображениями в качестве морфизмов и обладает следующими свойствами:^[1][8]

• Ste — предабелева категория;
• Ste — полная и кополная категория;
• Ste — автодуальная категория относительно функтора $X\to X^\star$ перехода к сопряженному пространству;
• Ste — категория с узловым разложением: всякий морфизм $\varphi:X\to Y$ обладает разложением $\varphi=\sigma\circ\beta\circ\pi$, в котором $\pi$ — строгий эпиморфизм, $\beta$ — биморфизм, а $\sigma$ — строгий мономорфизм.

Для любых двух стереотипных пространств $X$ и $Y$ стереотипное пространство операторов $\text{Hom}(X,Y)$ из $X$ в $Y$ определяется как псевдонасыщение пространства $\text{L}(X,Y)$ всех линейных непрерывных отображений $\varphi:X\to Y$, наделенного топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах. Пространство $\text{Hom}(X,Y)$ стереотипно. С его помощью определяются два естественных тензорных произведения в Ste:

$X\circledast Y:= \text{Hom}(X,Y^\star)^\star,$

$X\odot Y := \text{Hom}(X^\star,Y).$

Справедливы следующие естественные тождества:^[1]

$\mathbb{C}\circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb{C},$

$\mathbb{C}\odot X\cong X\cong X\odot\mathbb{C},$

$X\circledast Y\cong Y\circledast X,$

$X\odot Y\cong Y\odot X,$

$(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),$

$(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),$

$(X\circledast Y)^\star\cong Y^\star\odot X^\star,$

$(X\odot Y)^\star\cong Y^\star\circledast X^\star,$

$\text{Hom}(X\circledast Y,Z)\cong \text{Hom}(X,\text{Hom}(Y,Z)),$

$\text{Hom}(X,Y\odot Z)\cong \text{Hom}(X,Y)\odot Z$

Как следствие,

• Ste — симметрическая моноидальная категория относительно бифунктора $\odot$ и симметрическая замкнутая моноидальная категория относительно бифунктора $\circledast$ и внутреннего hom-функтора $\text{Hom}$.

Свойство стереотипной аппроксимации

Говорят, что стереотипное пространство $X$ обладает свойством стереотипной аппроксимации, если всякое линейное непрерывное отображение $\varphi:X\to Y$ можно аппроксимировать в стереотипном пространстве операторов $\text{Hom}(X,X)$ конечномерными линейными непрерывными отображениями. Это условие слабее, чем существование базиса Шаудера в $X$, но формально сильнее классического свойства аппроксимации (однако, пока неизвестно (2012), совпадает ли стереотипная аппроксимация с классической). Справедливо следующее предложение:

• Если два стереотипных пространства $X$ и $Y$ обладают свойством стереотипной аппроксимации, то пространства $\text{Hom}(X,Y)$, $X\circledast Y$ и $X\odot Y$ также обладают свойством стереотипной аппроксимации.^[1]

В частности, если $X$ обладает свойством стереотипной аппроксимации, то то же справедливо и для $X^\star$ и $\text{Hom}(X,X)$.

Приложения

Будучи симметрической моноидально категорией, Ste порождает понятия стереотипной алгебры (как моноида в Ste) и стереотипного модуля (как модуля в Ste над таким моноидом). Для всякой стереотипной алгебры $A$ категории _$A$Ste и Ste_$A$ левых и правых стереотипных модулей над $A$ являются относительными категориями над Ste.^[1] Это выделяет категорию Ste среди других известных категорий локально выпуклых пространств, поскольку до недавнего времени только про категорию Ban банаховых пространств и категорию Fin конечномерных пространств было известно, что они обладают этим свойством. С другой стороны, категория Ste так широка, а представляемые ею средства для построения новых простанств так разнообразны, что это дает основание предполагать, что все результаты функционального анализа можно без существенных потерь переформулировать внутри стереотипной теории. Следуя этой идее, можно пытаться полностью заменить категорию локально выпуклых пространств в функциональном анализе (и связанных областях) категорией Ste стереотипных пространств с целью сравнения получаемых теорий на предмет обнаружения возможных упрощений — эта программа была анонсирована С.Акбаровым в 2005^[10] и следующие результаты подтверждают её осмысленность:

• В теории стереотипных пространств свойство аппроксимации наследуется пространствами операторов и тензорными произведениями. Это позволяет снизить число контрпримеров в сравнении с теорией банаховых пространств, где, как известно, пространство операторов не наследует свойство аппроксимации.^[11]
• Возникающая теория стереотипных алгебр позволяет упростить конструкции в теориях двойственности некоммутативных групп. В частности, групповые алгебры в этих теориях превращаются в алгебры Хопфа в обычном алгебраическом смысле.^[7][12]

References

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Akbarov, S.S. (2003). «Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra». Journal of Mathematical Sciences 113 (2): 179-349.
2. ↑ …или над полем $\mathbb{R}$ вещественных чисел с аналогичным определением.
3. ↑ Smith, M.F. (1952). «The Pontrjagin duality theorem in linear spaces». Annals of Mathematics 56 (2): 248-253.
4. ↑ Brudovski, B.S. (1967). «On k- and c-reflexivity of locally convex vector spaces». Lithuanian Mathematical Journal 7 (1): 17-21.
5. ↑ Waterhouse, W.C. (1968). «Dual groups of vector spaces». Pac. J. Math. 26 (1): 193-196.
6. ↑ Brauner, K. (1973). «Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem». Duke Math. Jour. 40 (4): 845-855.
7. ↑ ^{1 2} Акбаров, С.С. (2008). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Фундаментальная и прикладная математика 14 (1): 3-178.
8. ↑ ^{1 2} Akbarov, S.S Envelopes and imprints in categories.
9. ↑ Akbarov, S.S.; Shavgulidze, E.T. (2003). «On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin». Mat. Sbornik 194 (10): 3-26.
10. ↑ Akbarov, S.S. (2005). «Pontryagin duality and topological algebras». Banach Center Publications 67: 55 — 71.
11. ↑ Szankowski, A (1981). «B(H) does not have the approximation property». Act. Math. 147: 147:89-108.
12. ↑ Kuznetsova, J A duality for Moore groups.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.