Сигнатура (линейная алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнатура.

Сигнату́ра — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

$x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_p-x^2_{p+1}-x^2_{p+2}-\cdots-x^2_{p+q}.$

Разность $p-q$ между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел $(p, q)$ или в виде $(+\cdots+-\cdots-)$ с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных $x_1 x_2$ может быть приведена к каноническому виду $\tilde x^2_1 - \tilde x^2_2,$ например, с помощью линейной замены переменных $x_1 = \tilde x_1+ \tilde x_2,$ $x_2 = \tilde x_1- \tilde x_2.$ Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде $(1,1)$ или в виде $(+-).$

См. также

• Псевдоевклидово пространство
• Пространство Минковского
• Квадратичная форма

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.