Разностное уравнение

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с ее значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Наиболее известный пример - уравнение на Гамма-функцию

$~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$

Следует помнить, что уравнения такого вида задают функцию неоднозначно, а с точностью до произвольной функции-множителя, периодичной по z.

Если переменная считается целым числом - то разностное уравнение превращается в рекуррентное соотношение, например, Числа Фибоначчи

$F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2},$

которое, однако, может быть решено и для нецелого n:

$F_{n} = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - e^{i \pi n}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n .$

Также и в рекуррентном определении факториала

$n! = n\,(n-1)!$

можно сделать обобщение, заменив целочисленную переменную n на вещественную или комплексную z и получить гамма-функцию:

$~\Gamma(n)=(n-1)!.$

Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества

$F(z+a) = \exp(a \frac{d}{d z}) F(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n\,F^{(n)}}{n!} = F(z) + a\,F'(z) +\frac{a^2\, F''(z)}{2}...\,.$

Некоторые разностные уравнения допускают предельный переход, превращающий их в дифференциальные.