Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках

Генерация ПАВ с помощью встречно-гребенчатого преобразователя. Справа — приёмные дорожки снимают сигнал, при этом происходит обратное преобразование механической энергии в переменный электрический ток, через нагрузочный резистор.

Поверхностные акустические волны в пьезоэлектриках — упругие волны распространяющиеся около поверхности пьезоэлектрика (релеевские волны) или в тонких пьезоэлектрических плёнках (лэмбовские волны наблюдаются, когда толщина подложки сравнима с длиной волны), сопровождающиеся модуляцией электрического поля для пьезоэлектрически активных направлений. Движение частиц среды при обоих типах волн эллиптическое. Амплитуда релеевских волн спадает при удалении от поверхности и её можно рассматривать как затухающую волну. Метод генерации ПАВ в пьезоэлектриках с помощью встречно-гребёнчатого преобразователя предложен в 1965 году^[1], что позволило найти широкое применение в обработке высокочастотных сигналов, линиях задержки, сенсорах и, в последнее время, для манипулирования частицами в микроканалах.

Теоретические основания

В линейной среде акустические волны полностью характеризуются уравнениями для смещений частиц U_i и потенциалом φ^[2]:

$T_{ij}=C_{ijkl}S_{kl}-e_{kij}E_k,$

(1.1)

$D_i=\varepsilon_{ij}E_j+e_{ijk}S_{jk},$

(1.2)

$S_{kl}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_k}{\partial x_l}+\frac{\partial U_l}{\partial x_k}\right),$

(1.3)

$E_i=-\frac{\partial \phi}{\partial x_i},$

(1.4)

$\rho\frac{\partial^2 U_i}{\partial t^2}=\frac{\partial T_{ik}}{\partial x_k},$

(1.5)

где T_ij, S_ij — тензоры напряжений и деформаций; E, D — векторы напряженности и индукции электрического поля; C_ijkl, e_ijk, ε_ij — тензоры модулей упругости (этот тензор симметричен по последней паре индексов^[3]), пьезомодулей и диэлектрической проницаемости соответственно; ρ — плотность среды. По повторяющимся индексам производится суммирование. Тензор модулей упругости задан при постоянном электрическом поле, а тензор диэлектрической проницаемости при постонной деформации. Если пьезоэлектрик не содержит свободных зарядов, то его можно считать диэлектриком и для него выполняется закон Гаусса для индукции электрического поля:

$\frac{\partial D_i}{\partial x_i}=0.$

(2)

Собственные полупроводники при достаточно низкой температуре удовлетворяют этому условию. Из вышеприведённой системы уравнений можно получить уравнения для акустических волн в пьезоэлектрике

$C_{ijkl}\frac{\partial^2 U_k}{\partial x_j \partial x_l}+e_{kij}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_j\partial x_k}=\rho\frac{\partial^2 U_i}{\partial t^2},$

(3.1)

$e_{ijk}\frac{\partial^2 U_j}{\partial x_i \partial x_k}-\varepsilon_{ij}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i\partial x_j}=0.$

(3.2)

Данные уравнения с граничными условиями полностью определяют задачу. При отсутствии пьезоэффекта решения уравнения (3.1) представляют собой упругие волны в анизотропной линейной среде.

Парциальные волны

Ищем решение уравнений (3.1) и (3.2) в виде плоских волн распространяющихся в направлении x₁ и затухающие в направлении x₃:

$u_j^{m}=\alpha_j^{m}\mathrm{exp}(ikb^{m}x_3)\mathrm{exp}[ik(x_1-vt)],$

(4.1)

$\phi^m=\alpha_4^{m}\mathrm{exp}(ikb^{m}x_3)\mathrm{exp}[ik(x_1-vt)],$

(4.2)

Подставляя эти решения в волновые уравнения получим систему уравнений на амплитуды

$\begin{pmatrix} \Gamma_{11}-\rho v^2 & \Gamma_{12} & \Gamma_{13} & \Gamma_{14} \\ \Gamma_{12} & \Gamma_{22}-\rho v^2 & \Gamma_{23} & \Gamma_{24} \\ \Gamma_{13} & \Gamma_{23} & \Gamma_{33}-\rho v^2 & \Gamma_{31} \\ \Gamma_{14} & \Gamma_{24} & \Gamma_{34} & \Gamma_{44}-\rho v^2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \\ \end{pmatrix}=0$

(5.1)

где элементы выражаются как

$\begin{align} \Gamma_{11} & =c_{55}b^2+2c_{15}b+c_{11}, \\ \Gamma_{22} & =c_{44}b^2+2c_{46}b+c_{66}, \\ \Gamma_{33} & =c_{33}b^2+2c_{35}b+c_{55}, \\ \Gamma_{12} & =c_{55}b^2+(c_{14}+c_{56})b+c_{16}, \\ \Gamma_{13} & =c_{35}b^2+(c_{13}+c_{55})b+c_{15}, \\ \Gamma_{23} & =c_{34}b^2+(c_{36}+c_{45})b+c_{56}, \\ \Gamma_{44} & =-(\varepsilon_{33}b^2+2\varepsilon_{13}b+\varepsilon_{11}), \\ \Gamma_{14} & =e_{35}b^2+(e_{15}+e_{31})b+e_{11}, \\ \Gamma_{24} & =e_{34}b^2+(e_{14}+e_{36})b+e_{16}, \\ \Gamma_{34} & =e_{33}b^2+(e_{13}+e_{35})b+e_{15}, \\ \end{align}$

(5.2)

Чтобы нетривиальное решение уравнений существовало нужно чтоьы детерминант системы (5.1) был равен нулю. Это условие задаёт уравнение 8-ой степени относительно b. Выбирая только решения в нижней комплексной мы найдём полное решение волновых уравнений:

$u_j=\left[\sum_{m}C_m\alpha_j^{m}\mathrm{exp}(ikb^{m}x_3)\right]\mathrm{exp}[ik(x_1-vt)],$

(6.1)

$\phi=\left[\sum_{m}C_m\alpha_4^{m}\mathrm{exp}(ikb^{m}x_3)\right]\mathrm{exp}[ik(x_1-vt)],$

(6.2)

где неизвестные коэффициенты C_m находятся из граничных условий заданных на поверхности пьезоэлектрика: условия ненагруженной поверхности T₃₃=T₃₁=T₃₂=0 и нерерывности нормальной компоненты вектора электрической индукции D₃. Для граничных условий (показан m-ый столбец) получим систему уравнений:

$\begin{pmatrix}\cdot\cdot\cdot (c_{33i1}+c_{33i3}b^m)\alpha_i^m+(e_{133}+e_{333}b^m)\alpha_4^m \cdot\cdot\cdot \\ \cdot\cdot\cdot (c_{31i1}+c_{31i3}b^m)\alpha_i^m+(e_{131}+e_{331}b^m)\alpha_4^m \cdot\cdot\cdot \\ \cdot\cdot\cdot (c_{32i1}+c_{32i3}b^m)\alpha_i^m+(e_{132}+e_{332}b^m)\alpha_4^m \cdot\cdot\cdot \\ \cdot\cdot\cdot (e_{3i1}+e_{3i3}b^m)\alpha_i^m-(\varepsilon_{31}+\varepsilon_{33}b^m-i\varepsilon_{0})\alpha_4^m \cdot\cdot\cdot \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \\ C_4 \\ \end{pmatrix}=0.$

(7)

Из равенства детерминанта системы нулю находят фазовую скорость волны^[4].

Симмерия кристаллов

Используя нотацию Фойгта тензор модулей упругости можно переписать в виде симметричной матрицы 6×6, которая имеет в общем случае 21 линейно независимую компоненту^[5]. Для кристаллов кубической симметрии (кремний, арсенид галлия), где координатная система совпадает с осями кристаллической решётки есть только три независимые компоненты^[6]:

$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \\ \end{pmatrix}$

Для кристаллов гексогональной симметрии (сульфид кадмия, окись цинка), где ось x₃ совпадает с осью Z кристалла существует пять независимых компонент^[6]:

$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{13} & c_{13} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2(c_{11}-c_{12}) \\ \end{pmatrix}$

Для кристаллов тригональной симметрии (классы 32, 3m, $\overline{3}m$), выделяют шесть независимых компонент^[6]:

$\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{13} & c_{14} & 0 & 0 \\ c_{13} & c_{13} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\ c_{14} & c_{14} & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & c_{14} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{14} & 1/2(c_{11}-c_{12}) \\ \end{pmatrix}$

К этому классу относятся важные пьезоэлектрики такие как кварц, ниобат лития.

Тензор пьезоэлектрических постоянных в нотации Фойгта (последняя пара индексов заменяется) для кубической сингонии (классы 23 и $4\overline{3}m$) имеют одну независимую компоненту^[7]

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & e_{14} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e_{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{14} \\ \end{pmatrix}$

Для кристаллов с гексогональной симметрией (точечная группа 6mm, поляризованная керамика по оси x₃) — три компоненты:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & e_{15} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e_{15} & 0 & 0 \\ e_{31} & e_{31} & e_{33} & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Для точечной группы 32 (тригональная сингония) две компоненты:

$\begin{pmatrix} e_{11} & -e_{11} & 0 & e_{14} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{14} & -e_{11} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

а для точечной группы 3m — четыре^[7]:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & e_{15} & -e_{22} \\ -e_{22} & e_{22} & 0 & e_{15} &0 & 0 \\ e_{31} & e_{31} & e_{33} & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Тензор диэлектрических постоянных также зависит от направления в кристалле для групп 3m, 32, 6mm, $\overline{3}m$ и ε₃₃≠ε₁₁=ε₂₂. Для классов 23, $4\overline{3}m$, m3m: ε₃₃=ε₁₁=ε₂₂.

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ

Рассмотрим простейший одномерный случай и, отбрасывая индексы, перепишем систему уравнений (1) в виде^[8]:

$T=cS-eE,$

(4.1)

$D=eS+\varepsilon E,$

(4.2)

$\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x^2},$

(4.3)

$\frac{\partial T}{\partial x}=\rho\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}.$

(4.4)

Эта систему уравнений приводит к волновому уравнению для сдвига

$\rho\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}=c\left(1+\frac{e^2}{c\varepsilon}\right)\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}-\frac{e}{\varepsilon}\frac{\partial D}{\partial x}.$

(5)

В случае если пьезоэлектрик окажется хорошим проводником, то продольные звуковые волны (скорость $v_0=\sqrt{c/\rho}$) не будут пьезоэлектрическими, а если — диэлектриком, то скорость волны станет $v=\sqrt{(1+e^2/c\varepsilon)c/\rho}$. Коэффициент $K^2=e^2/c\varepsilon$ называется коэффициент электромеханической связи и принимает значения меньше 0,05 (для поверхности (100) GaAs в направлении [011] K²_eff=6.4×10^-4). Если в GaAs сформирован ДЭГ с проводимостью σ, то электрическое поле акустической волны приводит к потерям энергии из-за омических потерь. Коэффициент затухания Γ и изменение скорости пьезоакустической волны с частотой ω равны соответственно:

$\Gamma=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{K^2_{eff}}{2}\frac{\sigma/\sigma_M}{1+(\sigma/\sigma_M)^2},$

(6.1)

$\frac{v-v_0}{v_0}=\frac{K^2_{eff}}{2}\frac{1}{1+(\sigma/\sigma_M)^2},$

(6.2)

где λ — длина волны, σ_M=v₀(1+ε). Здесь расстояние до ДЭГ от поверхности много меньше длины волны. В более общем случае изменение скорости и затухание связаны соотношением^[9]:

$\frac{\Delta v_s}{v_s}-\frac{i\Gamma}{q}=\frac{\alpha^2/2}{1+i\sigma_{xx}(q,v_sq)/\sigma_M},$

(7)

где v_s — скорость акустической волны для идеального проводника, q — волновой вектор, а коэффициенты α и σ_M зависят от материальных параметров. Отсюда видно, что взаимодействие ПАВ с ДЭГ зависит от продольной компоненты терзора проводимости, определяя бесконтактный метод его измерения.

Из-за наличия затухания часть импульса волны передаётся ДЭГ, приводя к возникновению акустоэлектрического тока (если цепь замкнута). Связь затухания и фазового сдвига с проводимостью благодаря взаимодействию ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ изучалась в присутствии перпердикулярного магнитного поля в режиме целочисленного квантового эффекта Холла^[8] и дробного квантового эффекта Холла^[10]

Адиабатический транспорт в одномерных каналах

Взаимодействие ПАВ в пьезоэлектрике с ДЭГ можно распространить на одномерные каналы, а именно сформированные с помощью латеральных затворов на поверхности GaAs. Бегущая ПАВ благодаря электрическому полю может создавать движущуюся потенциальную яму для отдельного электрона (которую можно представить как квантовую точку) в перекрытом рдномерном канале, то есть индуцировать проводимость. Благодаря кулоновской блокаде за один период переносится один электрон, и результирующий ток определяется только частотой сигнала f и зарядом электрона^[11][12]:

$I=fe.$

Такая простая формула открывает возможность использовать транспорт в квази-одномерных каналах в качестве эталона силы тока.

Применение

Датчики на поверхностных акустических волнах, линии задержки.

Примечания

1. ↑ White R. M., Voltmer F. W. Direct piezoelectric coupling to surface elastic waves // Appl. Phys. Lett.. — 1965. — Т. 7. — С. 314—316. — DOI:10.1063/1.1754276
2. ↑ Осетров А. В., Шо Н. В. Расчет параметров поверхностных акустических волн в пьезоэлектриках методом конечных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2011. — Т. 4. — С. 71—80.
3. ↑ Ландау Л. Д., с. 131
4. ↑ Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение), с. 18—21
5. ↑ Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение), с. 11
6. ↑ ^{1 2 3} Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение), с. 12
7. ↑ ^{1 2} Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение), с. 14
8. ↑ ^{1 2} Wixforth A., Scriba J., Wassermeier M., Kotthaus J. P., Weimann G., Schlapp W. Surface acoustic waves on GaAs/Al_xGa_1-xAs heterostructures // Phys. Rev. B. — 1989. — Т. 40. — С. 7874—7887. — DOI:10.1103/PhysRevB.40.7874
9. ↑ Simon S. H. Coupling of surface acoustic waves to a two-dimensional electron gas // Phys. Rev. B. — 1996. — Т. 54. — С. 13878—13884. — DOI:10.1103/PhysRevB.54.13878
10. ↑ Willett R. L., Paalanen M. A., Ruel R. R., West K. W., Pfeiffer L. N., Bishop D. J. Anomalous sound propagation at ν=1/2 in a 2D electron gas: Observation of a spontaneously broken translational symmetry? // Phys. Rev. Lett.. — 1990. — Т. 65. — С. 112—115. — DOI:10.1103/PhysRevLett.65.112
11. ↑ Shilton J. M., Talyanskii V. I., Pepper M., Ritchie D. A., Frost J. E. F., Ford C. J. B., Smith C. G., Jones G. A. C. High-frequency single-electron transport in a quasi-one-dimensional GaAs channel induced by surface acoustic waves // J. Phys.: Condens. Matter. — 1996. — Т. 8. — С. 531. — DOI:10.1088/0953-8984/8/38/001
12. ↑ Thouless D. J. Quantization of particle transport // Phys. Rev. B. — 1983. — Т. 27. — С. 6083—6087. — DOI:10.1103/PhysRevB.27.6083

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1987. — Т. VII. Теория упругости. — 248 с.
• Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — 472 с. — 5000 экз.
• Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах = Surface-Wave Devices for Signal Processing / Под ред. С. И. Баскакова. — М.: Радио и связь, 1990. — 414 с.