Плоскость Немыцкого

Плоскость Немыцкого L в общей топологии - пример совершенного^[1] не нормального пространства^[2]. Строится как подпространство плоскости с точками $(x;y)$, где $y\ge0$ с изменением топологии в точках $(x;0)$: база окрестностей таких точек - открытые круги $B( (x;\epsilon), \epsilon)$ и сама точка $(x;0)$, где $B(p,r)$ - круг, радиуса r, в точке p.

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки : L - сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс(имеет даже мощность континуум)).

Определена Александровым П.С. и Хопфом в 1935 году и представляет собой "универсальный контрпример"^[3]. L может быть наглядно описана студентам на первых же лекциях по общей топологии.

Свойства

1. Связное пространство
2. Сепарабельное (d(L)=ω) и не линделёфово (l(L)=2^ω) пространство^[4]
3. Пространство со счётной клеточностью (c(L)=ω) и счётным характером (χ(L)=ω)
4. Пространство с несчётным весом (w(L)=2^ω)
5. Вещественно полное пространство^[5]
6. Не счётно паракомпактно^[6]
7. Не слабо паракомпактно^[7]
8. Не является локально компактным пространством

Примечания

1. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 76
2. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 118
3. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 50
4. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 293
5. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 329
6. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 474
7. ↑ Энгелькинг, 1986, с. 485

Литература

• Энгелькинг, Рышард Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.