Формула Гаусса—Остроградского

Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью:

$\iiint\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\;\mathbf F\cdot\mathbf{n}\,dS,$

то есть интеграл от дивергенции векторного поля $\mathbf F$, распространённый по некоторому объёму $V$, равен потоку вектора через поверхность $S$, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

$\int\left(\frac{dP}{dx}+\frac{dQ}{dy}+\frac{dR}{dz}\right)\omega=\int(P\cos\lambda+Q\cos\mu+R\cos\nu)s,$

где $\omega$ и $s$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи $\omega=d\Omega$ — элемент объёма, $s=dS$ — элемент поверхности. $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830 гг.) на примере задач электродинамики^[1].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году^[1]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$-кратного интеграла.

За рубежом формула называется формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. 1’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. 1’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.