Модели рассеивания примеси

Модели рассеивания примеси — математические модели распространения примесей в атмосфере.

Гауссовы модели

Гауссовы модели основаны на гипотезе о том, что распределение частиц в струе или облаке близко к нормальному.

Нестационарная Гауссова модель

Уравнение, описывающее распределение загрязняющего вещества для нестационарного случая
$C(x,y,z,t)=\frac{Q}{(2\pi)^{3/2}\sigma_x\sigma_y\sigma_z}\exp[-\frac{((x-x_0)-ut)^2}{2\sigma^2_x}]\exp[-\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma^2_y}]\{\exp[-\frac{(z-H)^2}{2\sigma^2_z}]+\exp[-\frac{(z+H)^2}{2\sigma^2_z}]\}$

• $C(x,y,z,t)$ - Концентрация загрязняющего вещества в точке с координатами $x,y,z$ в момент времени $t$, [г/м³]
• $Q$ - мощность непрерывного точечного источника загрязнения, [г/с]
• $u$ - скорость ветра на высоте H метров, [м/с]
• $H$ - эффективная высота источника загрязнения, [м]
• $t$ - время транспорта, [с]
• $\sigma_x, \sigma_y$ - горизонтальные дисперсии, [м]
• $\sigma_z$ - вертикальная дисперсия, [м]
• $x_0, y_0, H$ - координаты точечного источника загрязнения, [м]

Параметры $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ увеличиваются с расстоянием $x-x_0$, скорость увеличения зависит от интенсивности турбулентности и тем самым от стабильности атмосферы. Для практического использования зависимости $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ от расстояние определяются на основании экспериментальных данных.

Стационарная Гауссова модель

Интегрируя по вермени концентрацию загрязнений, выбрасываемых из непрерывного источника, можно получить установившееся распределение концентрации для стационарной модели Гаусса

$C(x,y,z)=\frac{Q}{2\pi u\sigma_y\sigma_z}\exp[-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2_y}]\{\exp[-\frac{(z-H)^2}{2\sigma^2_z}]+\exp[-\frac{(z+H)^2}{2\sigma^2_z}]\}$

В обоих случаях направление ветра совпадает с направлением оси $x$ В гауссовой модели также предполагается, что имеет место отражение загрязняющего вещества от поверхности земли. Отражение характеризуется членом в фигурных скобках. Модель построена в предположении однородности и устойчивости атмосферы.

Представленная модель имеет ряд недостатков:

• Не учитывает рельеф поверхности
• Не учитывает изменение метеорологических параметров в пространстве и во времени
• Не описывает работу источников загрязнения работающих ограниченное время
• Используются характеристики полученные для наземных, а не приподнятых источников
• Не учитывает вертикальную структуру пограничного слоя

Гауссовы модели могут адекватно описывать распределение загрязняющего вещества только в горизонтальном направлении, для расчета вертикального профиля они применимы на очень коротких расстояниях.

Модель Пасквилла-Бригса

Значения дисперсий задаются в виде:

$\sigma_y=p_1x(1+q_1x)^{-0.5}$

$\sigma_z=p_2x(1+q_2x)^{-1}$

• $p_i, q_i$ - задаются таблично для каждого класса устойчивости атмосферы
  
  

Для расстояний от 100 м до 10 км в случае ровной открытой местности^[1]
$\sigma_y=\frac{\alpha_xx}{\sqrt{1+10^{-4}x}}$
$\sigma_z=\frac{\alpha_zx}{s_z(x)}$

Таблица классов устойчивости Пасквилла

Скорость ветра, м/с	Классы устойчивости атмосферы A-F
	Дневное время. Уровень солнечного освещения			Ночное время. Облачность
	Сильный	Средний	Слабый	>50%	<50%
<2	A	A-B	B	E	F
2-3	A-B	B	C	E	F
3-5	B	B-C	C	D	E
5-6	C	C-D	D	D	D
>6	C	D	D	D	D

Модель Сеттона

Первоначально Сеттон получил формулу для наземных источников загрязнений, которая подтвердилась результатами наблюдений в Портоне (Англия) при равновесных условий для сравнительно небольших расстояний (несколько сотен метров). Распределение примеси вблизи точечного источника в разных направлениях описывается гауссовским законом. Концентрация примеси в точке $(x,y,z)$ от источника, расположенного в начале координат, пропорциональна произведению^[1]
$p_y = \frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2_y})$
на аналогичные функции $p_z$ и $p_x$

• $\sigma^2_y$ дисперсия распределения примеси в направлении $y$

$\sigma^2_i=\frac{1}{2}c^2_i(\overline{u}t)^{2-n}$

• $c_i$ некоторые коэффициенты
• $\overline{u}$ средняя по высоте скорость ветра
• $t$ время после момента действия источника (в случае мгновенного источника), для непрерывного источника полагается, что $t=x/\overline{u}$
• $i=1,2,3$ соответствует $x,y,z$
• параметр $n$ можно определить вертикальному профилю скорости ветра, тем самым косвенно учесть условия стратификации

Модель турбулентной диффузии

Полное уравнение массопереноса в общем виде описывается уравнением турбулентной диффузии
$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}u\cdot C+\frac{\partial}{\partial y}v\cdot C+\frac{\partial}{\partial z}\omega\cdot C=\frac{\partial}{\partial x}D_x\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}D_y\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}D_z\frac{\partial C}{\partial z}$

Граничное условие
$D_z\frac{\partial C}{\partial z}+\omega C=\beta C$

• $C$ - концентрация загрязняющего вещества [г/м³]
• $D_x, D_y, D_z$ - коэффициенты турбулентной диффузии [м²/с]
• $u$ - средняя скорость ветра вдоль оси $x$, [м/с]
• $v$ - средняя скорость ветра вдоль оси $y$, [м/с]
• $\omega$ - средняя скорость седиментации частиц загрязняющего вещества, [м/с]
• $\beta$ - постоянная [м/с]. При $\beta=0$ граничное условие означает, что поток на поверхности равен нулю, все загрязняющее вещество остается в атмосфере "отражаясь" от поверхности земли. При $\beta=\infty$ загрязняющее вещество "прилипает" к поверхности. В промежуточном случае $0<\beta<\infty$ вещество частично "отражается" частично "прилипает", обычно рассматриваются лишь две крайние возможности - "отражение" или "прилипание".

Аналитическое решение уравнение турбулентной диффузии имеет в частных случаях в предположениях конкретных функций коэффициентов диффузии от координат.

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентов диффузии и однородных граничных условий

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах турбулентной диффузии $D_x, D_y, D_z$ при действии постоянного точечного источника загрязнения с учетом однородных граничных условий
$u\frac{\partial C}{\partial x}=D(\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z})+Q\delta(r)$

• $Q\delta$ - Действие постоянного точечного источника загрязнения, $\delta$ - дельта функция Дирака
• $Q$ - Мощность точечного источника загрязнения, [г/с]
• $r$ - Расстояния от источника, [м]
• $D=D_x=D_y=D_z$ - Коэффициент турбулентной диффузии, [м²/с]

Решение уравнения
$C(x,y,z)=\frac{Q}{4\pi D r}\exp[-\frac{u}{2 D}(r - x)]$
Согласно этой модели, зависимость концентрации от расстояния до источника носит гиперболический характер, в то время как по модели Гаусса эта зависимость носит характер экспоненциального закона убывания.

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентов диффузии при краевом условии "отражение"

Решение уравнения турбулентной диффузии при $u=const$, и наличие в точке $x=0, y=0, z=h$, стационарного точечного источника загрязнения и при краевом условии «отражения» на уровне $z=0$:
$D_z\frac{\partial C}{\partial z}+\omega C=0, z=0$
$C(x,y,z)=\frac{Q}{2\pi x\sqrt{D_y D_z}}\exp[-\frac{u y^2}{4D_x\cdot x}]\{\exp[-\frac{u(z-h)^2}{4D_z\cdot x}]+\exp[-\frac{u(z+h)^2}{4D_z\cdot x}]\}$

Решение стационарного уравнения турбулентной диффузии при степенной зависимости вертикального коэффициента турбулентной диффузии

Математическая постановка задачи
$u\frac{\partial C}{\partial x}=D_y\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z}D_z(z)\frac{\partial C}{\partial z}$

Граничное условие либо "отражение" либо поглощение.

• Уравнение записано в пренебрежении диффузии вдоль направления ветра (ось $x$)
• $D_y = const$ коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии, [м²/с]
• $D_z(z) = D_1(\frac{z}{z_1})^{1-1/p}$ коэффициент вертикальной турбулентной диффузии м²/с]
• $p$ параметр термической устойчивости воздуха, $p=\infin$ - безразличная стратификация; $p>0$ - устойчивая стратификация; $p<0$ - конвекция

Методика ОНД - 86

В России для расчета локального загрязнения атмосфера выбросами ТЭС применяется методика ОНД-86, сводящая к последовательности аналитических выражений, полученных в результате аппроксимации разностного решения уравнения турбулентной диффузии. Методика ОНД-86 позволяет рассчитывать максимально возможное распределение концентрации выбросов на расстоянии 2 метра от поверхности земли в условиях умеренно неустойчивого состояния атмосферы и усредненные по 20 минутному интервалу, но не учитывает такие факторы, как класс устойчивости атмосферы и шероховатость подстилающей поверхности.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} 18) Берлянд М. Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязне¬ние атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 448 с.

На сайте агентства защиты окружающей среды США представлены многочисленные альтернативные модели рассеяния примесей в основной основанных на гауссовых моделях рассеивания.
Альтернативные модели рассеивания примесей
Специальный модуль Flotran программного комплекса ANSYS позволяет решать различные задачи распространения примеси на основе решений системы уравнений Навье - Стокса, уравнения непрерывности, уравнения теплопереноса и уравнения массопереноса.

Ссылки

• Materials of IAEA Meeting, 1987, Chapter 3 p. 26.
• Sun W.-Y. and C.-Z. Chang. Diffusion model for a convective layer. Part 2: Plume released from a continuous point source. J. Climate Appl. Meteorol. 1986, vol. 25, No 10, pp. 1454-1463
• Pasquill F. Atmospheric dispersion parameters in gaussian plume modeling: [part II. Possible Requirements for Change in the Turner Workbook Values]. / F. Pasquill // EPA-600/4-76-030b, U.S. Environmental Protection Agency, Research Triangle Park, North Carolina 27711. - 1976.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.