Дисперсия волн

Диспе́рсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. Дисперсия волн приводит к тому, что волновое возмущение произвольной негармонической формы претерпевает изменения (диспергирует) по мере его распространения.

Иногда под дисперсией волны понимают процесс разложения широкополосного сигнала в спектр, например, при помощи дифракционных решёток.

История

Термин дисперсия (лат. dispergo — рассеивать, развеивать, разгонять) был впервые использован в физике Исааком Ньютоном в 1672 году по отношению к дисперсии света. Ньютон наблюдал эффект разложения белого света в спектр при его преломлении на границе двух сред. Развитая Ньютоном волновая теория света объяснила этот эффект тем, что волны разной длины (частоты) имеют разные скорости в среде, а потому преломляются под разными углами. Впоследствии было показано, что тем же объясняется расплывание импульсов, различие фазовой и групповой скорости, неравномерное движение волновых фронтов и т. д.

Математическое описание

Как известно, в общем случае любая волна может быть математически разложена в Фурье-спектр, то есть представлена в виде суммы гармонических (монохроматических) волн вида

$A\exp(i\omega t - i\vec k\vec r)$

где $A$ — комплексная амплитуда соответствующей гармоники, $\omega$ — частота гармоники, $\vec k$ — волновой вектор, $t$ — время, $\vec r$ — радиус-вектор данной точки.

Для описания дисперсии вводят так называемое дисперсионное уравнение, являющееся зависимостью частоты волны от её волнового вектора:

$\omega = \omega(\vec k).$

В изотропных средах модуль волнового вектора (называемый волновым числом $k = |\vec k|$) не зависит от направления распространения волны и дисперсионное уравнение выражает зависимость частоты от волнового числа $\omega = \omega(k).$

Зная дисперсионное уравнение, можно найти зависимость фазовой $v_p$ и групповой $v_g$ скоростей от частоты и длины волны. по определению:

$v_p = \frac{\omega}{k},$

$v_g = \frac{d\omega}{dk}.$

В классической оптике дисперсия называется нормальной, если фазовая скорость уменьшается с ростом частоты, и аномальной в обратном случае.

Физика явления

Дисперсия волн обычно связана или с наличием временного запаздывания в реакции среды на волновое возмущение (временна́я дисперсия), или с влиянием на данную точку пространства соседних точек (пространственная дисперсия). В ряде случаев, однако, невозможно провести однозначное разделение на пространственную и временную дисперсии. Конкретный физический механизм, приводящий к появлению дисперсии, зависит от конкретной ситуации.

Примеры

Примером диспергирующих волн могут служить волны на поверхности жидкости. Для достаточно длинных волн, называемых гравитационными, дисперсионное уравнение имеет вид $\omega^2 = gk$, где $g$ — ускорение свободного падения. Для коротких волн, называемых капиллярными, дисперсионное соотношение имеет другой вид: $\omega^2 = k^3\sigma/\rho$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, $\rho$ — плотность жидкости.

Частотная дисперсия

Частотная дисперсия — это дисперсия материала, функционально зависящая от циклической частоты излучения. Существует несколько моделей для описания частотной дисперсии.

Модель Друде:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁·ω²+i·c₁·ω)+...+a_n/(b_n·ω²+i·c_n·ω);

Модель Дебая:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁+i·c₁·ω)+...+a_n/(b_n+i·c_n·ω);

Модель Лоренца:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁+i·c₁·ω+в₁·ω²)+...+a_n/(b_n+i·c_n·ω+в_n·ω²),

где ε(ω) - диэлектрическая проницаемость материала, Ф/м; ε_h - диэлектрическая проницаемость материала на высоких частотах; a_i, b_i, c_i и d_i, i = 1,...,n - коэффициенты модели, зависящие от резонансных частот (длин волн) и величин резонанса.

См. также

• Дисперсия света
  • Аномальная дисперсия
  • Атмосферная дисперсия
• Закон дисперсии (дисперсионное уравнение)
• Показатель преломления
• Мера дисперсии
• Дисперсионные соотношения

Литература

• M. А. Миллер, Г. В. Пермитин Дисперсия волн // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — 707 с. — 100 000 экз.