Многочлены Якоби

Полиномы Якоби - класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Ортогональные полиномы
Якоби
Открыты	Якоби, Карл Густав Якоб
Формула	$P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}\sum_{m=0}^n {n\choose m}\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m$
Дифференциальное уравнение	$(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,$
Определены на	$\ [-1,1]$
Вес	$(1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} \,\!$
Норма	$\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!}$
Примечания

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные^[1]:

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,$

где $(\alpha+1)_n$ является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

$P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,$

Откуда одно из конечных значений следующее

$P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.$

Для целых $n\,$

${z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},$

где $\Gamma(z)\,$ — обычная гамма-функция, и

${z\choose n} = 0 \quad\hbox{for}\quad n < 0.$

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

$\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}$

для $\alpha>-1$ и $\beta>-1$.

Существует отношение симетрии для полиномов Якоби.

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);$

а потому еще одно значение полиномов:

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .$

Для действительного $x$ полином Якоби может быть записан следующим образом.

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= \sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}$

где $s \ge 0 \,$ и $n-s \ge 0 \,$.

В особом случае, когда $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$ и $n+\alpha +\beta$ - неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.$

Сумма берется по всем целым значениям $s$, для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера $d^j_{m' m}(\phi)\;$ ($0\le \phi\le 4\pi$) в терминах полиномов Якоби^[2]

$d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).$

Производные

k-тая производная явного выражения приводит к

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z).$

Примечания

1. ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0486612720, MR0167642
2. ↑ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

• Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), «Special functions», vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., «Orthogonal Polynomials», NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255