Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ-фильтр) или IIR-фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response — бесконечная импульсная характеристика) — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми так и цифровыми.

Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышева, фильтр Баттерворта, Фильтр Калмана и фильтр Бесселя.

Описание

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

$y(n) = b_{0} x(n) + b_{1} x(n-1) + \cdots + b_{P} x(n-P) - a_{1} y(n-1) - a_{2} y(n-2) - \cdots - a_{Q} y(n-Q)$

где $P$ порядок входного сигнала, $b_{i}$ — коэффициенты входного сигнала, $Q$ — порядок обратной связи, $a_{i}$ — коэффициенты обратной связи, $x(n)$ — входной, а $y(n)$ — выходной сигналы. Более компактная запись разностного уравнения:

$y(n) = \sum_{i=0}^P b_{i}x(n-i) - \sum_{k=1}^Q a_{k} y(n-k)$

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

$x(n) = \delta(n)$

где $\delta(n)$ — дельта-функция. Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как

$h(n)=\sum_{i=0}^P b_{i}\delta(n-i) - \sum_{k=1}^Q a_{k} h(n-k)$

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:

$H(z)= \frac{\sum_{i=0}^P b_{i} z^{-i}}{1+\sum_{k=1}^Q a_{k} z^{-k}}$

Устойчивость

Об устойчивости фильтра с бесконечной импульсной характеристикой судят по его передаточной функции. Для дискретного фильтра необходимо и достаточно, чтобы все полюса его передаточной функции по модулю были меньше единицы (т.е. лежали внутри единичного круга на z-плоскости). Все критерии устойчивости, применимые в теории линейных стационарных систем, например критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Рауса применимы и в случае БИХ-фильтров.

В отличие от БИХ-фильтров, КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми.

Реализация БИХ фильтра

Если рассматривается передаточная функция вида:

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_ {k=0}^{M} b_{k} z ^{-k} } { 1 + \sum_ {k=1}^{N} a_{k} z ^{-k}} = \frac{B(z)}{A(z)},$

то соотношение между входом и выходом такой системы должно удовлетворять разностному уравнению:

$y(n) = -\sum_ {k=1}^N a(k)y(n - k) + \sum_ {k=0}^M b(k)x(n - k)$

Это уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции, таким образом форму построения цепи, соответствующей этому уравнению, называют прямой формой 1.

Прямая реализация типа 1 БИХ фильтра

При построении БИХ фильтра для простоты можно принять, что M=N. БИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов или основных операций: умножитель, сумматор и блок задержки. Этих элементов достаточно для всех возможных цифровых фильтров. вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация БИХ-фильтров типа 1. Поскольку совокупности коэффициентов b(k) и a(k) соответствуют полиномам числителя B(z) и знаменателя A(z) передаточной функции Н(z), то прямую форму БИХ-фильтра, показанную на рисунке, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули и имеет передаточную функцию B(z), а вторая — полюсы, и имеет передаточную функцию 1/A(z). Обозначив выходной сигнал первой системы w(n), разностное уравнение можно заменить системой уравнений:

$y(n) = - \sum_ {k=1}^{N} a(k)y(n - k) + w(n),$

$w(n) = \sum_ {k=0}^{M} b(k)x(n - k)$

которая и реализована структурой, показанной на рисунке.

В дискретных системах с постоянными параметрами соотношение между входом и выходом не зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свойства вытекает вторая прямая форма построения БИХ-фильтра. Если сначала реализовать полюсы H(z) соответствующие правой части структурной схемы верхнего рисунка, которая имеет передаточную функцию 1/A(z), а после — нули передаточной функцией B(z), то получим структуру, показанную на рисунке 2, которая соответствует системе уравнений:

$w(n) = -\sum_ {k=1}^{N} a(k)w(n - k) + x(n),$

$y(n) = \sum_ {k=0}^{M} b(k)w(n - k).$

Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра(неканоническая)

Объединив линии задержки в структуре, показанной на верхнем рисунке, получим прямую каноническую форму БИХ-фильтра:

Прямая реализация БИХ фильтра(каноническая)

В некоторых случаях, с точки зрения шумовых характеристик, фильтр, реализованный в прямой форме, лучше, чем в канонической.

См. также

• Электронный фильтр
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой
• Теорема Марельея

Ссылки

• The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course — Introduction to DSP (англ.)
• Проектирование цифровых фильтров