Инвариант Колен де Вердьера

Инвариант Колен де Вердьера — характеристика графа $\mu(G)$, определённая для любого графа G, введённая Ивом Колен де Вердьером (фр.) в 1990 году в процессе исследования мультиплетности (англ.) второго собственного значения некоторых операторов Шрёдингера.^[1]

Определение

Пусть $G=(V,E)$ — простой (не содержащий петель и кратных рёбер) ациклический граф. Без потери общности поименуем множество вершин следующим образом: $V=\{1,\dots,n\}$. Тогда $\mu(G)$ — наибольший коранг любой такой матрицы $M=(M_{i,j})\in\mathbb{R}^{(n)}$, что:

• (M1) для любых $i,j$, где $i\neq j$: $M_{i,j}<0$, если i и j смежны, и $M_{i,j}=0$ , если i и j в противном случае
• (M2) M имеет ровно одно собственное значение мультиплетности 1;
• (M3) не существует такой ненулевой матрицы $X=(X_{i,j})\in\mathbb{R}^{(n)}$, что $MX=0$, и что $X_{i,j}=0$, независимо от того, $i=j$, или $M_{i,j}\neq 0$.^[2][1]

Классификация известных групп графов

С точки зрения инварианта Колен де Вердьера, некоторые хорошо известные семейства графов обладают характерными особенностями:

• μ ≤ 0 тогда и только тогда, когда у G нет рёбер;^[1][2]
• μ ≤ 1 тогда и только тогда, когда G является линейным лесом (лесом, в котором каждый компонент является путём, то есть инцидентность любой вершины не больше 2);^[1][3]
• μ ≤ 2 тогда и только тогда, когда G является внешнепланарным графом (англ.) (все вершины лежат на одной грани);^[1][2]
• μ ≤ 3 тогда и только тогда, когда G является планарным графом;^[1][2]
• μ ≤ 4 тогда и только тогда, когда G является бессвязно встраиваемым (англ.), то есть не существует двух циклов в G, для которых при отображении на евклидово пространство (коэффициент зацепления) равен нулю.^[1][4]

Эти же группы графов проявляют свои отличительные черты и при анализе связи между инвариантом графа и дополнением этого графа:

• Если дополнение графа с n вершинами является линейным лесом, то μ ≥ n − 3;^[1][5]
• Если дополнение графа с n вершинами является внешнепланарным графом, тоμ ≥ n − 4;^[1][5]
• Если дополнение графа с n вершинами является планарным графом, то μ ≥ n − 5.^[1][5]

Миноры графов

Минором (англ.) графа G называют граф H, полученный из G последовательным удалением вершин, удалением рёбер и сжатием рёбер. Инвариант Колена де Вердьера монотонен относительно операции взятия минора в том смысле, что минорирование графа не может увеличить его инвариант:

Если H является минором G, то $\mu(H)\leq\mu(G)$.^[2]

По теореме Робертсона — Сеймура (англ.), для любого k существует H, конечное множество графов такое, что для любого графа с инвариантом не более k графы из H не могут быть минорами. В работе (Colin de Verdière 1990) перечисляются множества таких недопустимых миноров (англ.) для k ≤ 3; для k = 4 множество недопустимых миноров состоит из семи графов семейства Петерсена (англ.) по определению бессвязно встраиваемого графа как графа с μ ≤ 4 и без графов Петерсена в качестве миноров.^[4]

Связь с хроматическим числом

(Colin de Verdière 1990) предположил, что любой граф с инвариантом де Вердьера μ может быть раскрашен с использованием не более чем μ + 1 цветов. Например, у линейных лесов (компоненты которых являются двудольными графами) инвариант равняется 1; у внешнепланарных графов инвариант равняется 2, и они могут быть раскрашены тремя цветами; у планарных графов инвариант — 3, и они могут быть раскрашены четырьмя цветами.

Для графов с инвариантом де Вердьера не более четырёх предположение истинно; они все являются бессвязно встраиваемыми, и тот факт, что они раскрашиваются пятью цветами, является следствием доказательства гипотезы Хадвигера для графов без миноров типа K₆ в работе (Robertson, Seymour & Thomas 1993).

Другие свойства

Если число пересечений (англ.) графа равно k, то инвариант де Вердьера для него будет не более k + 3. Например, графы Куратовского K₅ и K_3,3 могут быть изображены с одним пересечением, и инвариант для них будет не более четырёх.^[2]

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} (van der Holst, Lovász & Schrijver 1999).
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} (Colin de Verdière 1990).
3. ↑ В работе (Colin de Verdière 1990) этот случай явным образом не рассмотрен, но он явным образом вытекает из результатов анализа графов, не имеющих миноров вида «треугольник» и «трёхконечная звезда (англ.)».
4. ↑ ^{1 2} (Lovász & Schrijver 1998).
5. ↑ ^{1 2 3} (Kotlov, Lovász & Vempala 1997).

Ссылки

• Colin de Verdière, Y. (1990), "«Sur un nouvel invariant des graphes et un critère de planarité»", Journal of Combinatorial Theory, Series B Т. 50 (1): 11–21, DOI 10.1016/0095-8956(90)90093-F . Translated by Neil Calkin as Colin de Verdière, Y. (1993), "On a new graph invariant and a criterion for planarity", in Robertson, Neil & Seymour, Paul, «Graph Structure Theory: Proc. AMS–IMS–SIAM Joint Summer Research Conference on Graph Minors», vol. 147, Contemporary Mathematics, American Mathematical Society, сс. 137–147 .
• van der Holst, Hein; Lovász, László & Schrijver, Alexander (1999), "The Colin de Verdière graph parameter", «Graph Theory and Combinatorial Biology (Balatonlelle, 1996)», vol. 7, Bolyai Soc. Math. Stud., Budapest: János Bolyai Math. Soc., сс. 29–85, <http://www.cs.elte.hu/~lovasz/colinsurv.ps> .
• Kotlov, Andrew; Lovász, László & Vempala, Santosh (1997), "«The Colin de Verdiere number and sphere representations of a graph»", Combinatorica Т. 17 (4): 483–521, doi:10.1007/BF01195002, <http://oldwww.cs.elte.hu/~lovasz/sphere.ps> 
• Lovász, László & Schrijver, Alexander (1998), "«A Borsuk theorem for antipodal links and a spectral characterization of linklessly embeddable graphs»", Proceedings of the American Mathematical Society Т. 126 (5): 1275–1285, DOI 10.1090/S0002-9939-98-04244-0 .
• Robertson, Neil; Seymour, Paul & Thomas, Robin (1993), "«Hadwiger's conjecture for K₆-free graphs»", Combinatorica Т. 13: 279–361, doi:10.1007/BF01202354, <http://www.math.gatech.edu/~thomas/PAP/hadwiger.pdf> .

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Проверить достоверность указанной в статье информации.