Душа (дифференциальная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Душа (значения).

Душа — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие риманова многообразия $(M,g)$, являющееся его деформационным ретрактом.

Обычно предполагается, что $(M,g)$ — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Примеры

• Любое компактное многообразие является своей душой.

• У евклидовa пространствa Rⁿ любая точка является его душой.

• У параболоида M = {(x,y,z) : z = x² + y²}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.

• У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x² + y² = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x² + y² = 1} с фиксированной z является душой M.

История

Термин «душа» был введён Чигер (англ.) и Громол (англ.) в 1972 году^[1] в статье, где они в частности доказали теорему о душе. Эта теорема обобщает более раннюю теорему Громола и Мейера^[2].

В той же статье Чигером и Громолом была сформулирована гипотеза о душе, которая была доказана Григорием Перельманом^[3] в 1994 году очень кратко и красиво.

Свойства

Ниже предполагаем, что $(M,g)$ — это полное связное Риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

• Теорема о душе утверждает:

  Всякое (M, g) имеет душу S. Более того: многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению S.

• Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны.
  • Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году^[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-Липшицев деформационный ретракт $(M,g)\to S$

• Ретракция Шарафутдинова $(M,g)\to S$ являтся римановой субмерсией. В частности если $(M,g)$ имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.

Связанные открытые вопросы

• Гипотеза о двойной душе утверждает^[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.

Примечания

1. ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), "«On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature»", Annals of Mathematics. Second Series Т. 96: 413-443, MR0309010, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), "«On complete open manifolds of positive curvature»", Annals of Mathematics. Second Series Т. 90: 75-90, MR0247590, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), "«Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll»", Journal of Differential Geometry Т. 40 (1): 209-212, MR1285534, ISSN 0022-040X, <http://www.intlpress.com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf> 
4. ↑ Шарафутдинов, V. A. (1979), "«О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны»", Матем. заметки Т. 26 (1): 129—136 
5. ↑ K. Grove, Geometry of and via smmetries