- Код Хемминга
-
Код Хемминга
Коды Хемминга — наиболее известные и, вероятно, первые из самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Построены они применительно к двоичной системе счисления.
Содержание
История
В середине 40-х годов Ричард Хемминг работал в знаменитых Лабораториях Белла на счётной машине Bell Model V. Это была электромеханическая машина, использующая релейные блоки,скорость которых была очень низка: один оборот за несколько секунд. Данные вводились в машине с помощью перфокарт, и поэтому в процессе чтения часто происходили ошибки. В рабочие дни использовались специальные коды, чтобы обнаруживать и исправлять найденные ошибки, при этом оператор узнавал об ошибке по свечению лампочек, исправлял и запускал машину. В выходные дни, когда не было операторов, при возникновении ошибки машина автоматически выходила из программы и запускала другую.
Хемминг часто работал в выходные дни, и все больше и больше раздражался, потому что часто был должен перегружать свою программу из-за ненадежности перфокарт. На протяжении нескольких лет он проводил много времени над построением эффективных алгоритмов исправления ошибок. В 1950 году он опубликовал способ, который на сегодняшний день мы знаем как код Хемминга.
Самоконтролирующиеся коды
Коды Хемминга являются самоконтролирующимися кодами, т.е кодами, позволяющими автоматически обнаруживать наиболее вероятные ошибки при передаче данных. Для их построения достаточно приписать к каждому слову один добавочный (контрольный) двоичный разряд и выбрать цифру этого разряда так, чтобы общее количество единиц в изображении любого числа было, например, четным. Одиночная ошибка в каком-либо разряде передаваемого слова (в том числе, может быть, и в контрольном разряде) изменит четность общего количества единиц. Счетчики по модулю 2, подсчитывающие количество единиц, которые содержатся среди двоичных цифр числа, могут давать сигнал о наличии ошибок.
При этом, разумеется, мы не получаем никаких указаний о том, в каком именно разряде произошла ошибка, и, следовательно, не имеем возможности исправить её. Остаются незамеченными также ошибки, возникающие одновременно в двух, в четырёх или вообще в четном количестве разрядов. Впрочем, двойные, а тем более четырёхкратные ошибки полагаются маловероятными.
Самокорректирующиеся коды
Коды, в которых возможно автоматическое исправление ошибок, называются самокорректирующимися. Для построения самокорректирующегося кода, рассчитанного на исправление одиночных ошибок, одного контрольного разряда недостаточно. Как видно из дальнейшего, количество контрольных разрядов k должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенству
или 
, где m - количество основных двоичных разрядов кодового слова. Минимальные значения k при заданных значениях m, найденные в соответствии с этим неравенством, приведены в таблице № 1-
-
-
-
-
-
-
Диапазон m kmin 1 2 2-4 3 5-11 4 12-26 5 27-57 6
-
-
-
-
-
-
Имея m+k разрядов, самокорректирующийся код можно построить следующим образом.
Присвоим каждому из разрядов свой номер - от 1 до m+k; запишем эти номера в двоичной системе счисления. Поскольку 2k > m + k ,каждый номер можно представить, очевидно, k-разрядным двоичным числом.
Предположим далее, что все m+k разрядов кода разбиты на контрольные группы, которые частично перекрываются, причем так, что единицы в двоичном представлении номера разряда указывают на его принадлежность к определённым контрольным группам. Например: разряд № 5 принадлежит к 1-й и 3-й контрольным группам, потому что в двоичном представлении его номера 510 = …0001012 - 1-й и 3-й разряды содержат единицы.
Среди m+k разрядов кода при этом имеется k разрядов, каждый из которых принадлежит только к одной контрольной группе:
Разряд № 1: 110 = …0000012 принадлежит только к 1-й контрольной группе.
Разряд № 2: 210 = …0000102 принадлежит только к 2-й контрольной группе.
Разряд № 4: 410 = …0001002 принадлежит только к 3-й контрольной группе.
…
Разряд № 2k − 1 принадлежит только к k-й контрольной группе.
Эти k разрядов мы и будем считать контрольными. Остальные m разрядов, каждый из которых принадлежит, по меньшей мере, к двум контрольным группам, будут информационными разрядами.
В каждой из k контрольных групп будем иметь по одному контрольному разряду. В каждый из контрольных разрядов поместим такую цифру (0 или 1), чтобы общее количество единиц в его контрольной группе было четным.
Например, довольно распространен код Хеминга с m=7 и k=4.
Пусть исходное слово (кодовое слово без контрольных разрядов) - 01101012.
Обозначим Pi - контрольный разряд №i; а Di - информационный разряд №i, где i = 1,2,3,4…
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Информационное кодовое слово : 0 1 1 0 1 0 1 p1 1 0 1 0 1 1 p2 0 0 1 0 0 1 p3 0 1 1 0 p4 0 1 0 1 Кодовое слово с контрольными разрядами: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1
Интересно посмотреть, как перекрываются контрольные группы в данном случае (Рис №1). Первая группа контролирует разряды № 3,7,5 исходного кода, вторая — 3,7,6… (№ группы = № контрольного разряда). Очевидно, что они частично перекрываются.
Рис.№1 Первая группа контролирует разряды № 3,7,5 исходного кода, вторая — 3,7,6… Очевидно что они частично перекрываются
Предположим теперь, для примера, что при передаче данного кодового слова 10001100101 произошла ошибка в 11–м разряде, так, что было принято новое кодовое слово 10001100100. Произведя в принятом коде проверку четности внутри контрольных групп, мы обнаружили бы, что количество единиц нечетно в 1-й,2-й и 4-й контрольных группах, и четно в 3-й контрольной группе. Это указывает, во-первых, на наличие ошибки, во-вторых, означает, что номер ошибочно принятого разряда в двоичном представлении содержит единицы на первом, втором и четвёртом местах и нуль - на третьем месте, т.к ошибка только одна, и 3-я контрольная сумма оказалась верной.
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Контроль по четности в группе Контрольный бит Переданное кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Принятое кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 p1 1 0 1 0 1 0 Fail 1 p2 0 0 1 0 0 0 Fail 1 p3 0 1 1 0 Pass 0 p4 0 1 0 0 Fail 1
-
p4 p3 p2 p1 В двоичном представлении 1 0 1 1 В десятичном представлении 8 2 1 Σ = 11
Из таблицы следует, что ошибка произошла в 11-м разряде и её можно исправить. Построенный код, разумеется, не рассчитан на возможность одновременной ошибки в двух разрядах.
Например (Рис №2), когда ошибки одновременно прошли в 3-м и 7-м разрядах исходного кода, первый и второй контрольные биты даже не замечают подмены.
Рис.№2 Когда ошибки прошли в 3-м и 7-м разрядах исходного кода, первый и второй контрольные биты даже не замечают ошибкиКогда в принятом коде производится проверка четности внутри контрольных групп, случай двойной ошибки ничем внешне не отличается от случая одиночной ошибки.
Например, предположим теперь, что при передаче данного кодового слова 10001100101 произошли ошибки в 3-м и 6-м разрядах, так, что принято кодовое слово 10101000101.
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Контроль по четности в группе Контрольный бит Переданное кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Принятое кодовое слово: 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 p1 1 1 1 0 1 1 Fail 1 p2 0 1 0 0 0 1 Pass 0 p3 0 1 0 0 Fail 1 p4 0 1 0 1 Pass 0
-
p4 p3 p2 p1 В двоичном представлении 0 1 0 1 В десятичном представлении 4 1 Σ = 5
Вывод: ошибка произошла в 5-м разряде Истинное кодовое слово : 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Ошибочное кодовое слово : 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Исправленное кодовое слово : 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Результат получается ещё более отдаленным от правильного, чем принятый код. Исправление кода по общему правилу не только не улучшило, но даже ухудшило бы дело.
Код Хемминга
Можно построить и такой код, который обнаруживал бы двойные ошибки и исправлял одиночные. Для этого к самокорректирующемуся коду, рассчитанному на исправление одиночных ошибок, нужно приписать ещё один контрольный разряд (разряд двойного контроля). Полное количество разрядов кода при этом будет m+k+1. Цифра в разряде двойного контроля устанавливается такой, чтобы общее количество единиц во всех m + k + 1 разрядах кода было четным. Этот разряд не включается в общую нумерацию и не входит ни в одну контрольную группу.
Например, код Хеминга с m=7 и k=4 Пусть информационное кодовое слово - 0110101
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Second Parity Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Информационное кодовое слово: 0 1 1 0 1 0 1 p1 1 0 1 0 1 1 p2 0 0 1 0 0 1 p3 0 1 1 0 p4 0 1 0 1 Кодовое слово с контрольными разрядами: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
При этом могут быть следующие случаи.
1. В принятом коде в целом и по всем контрольным группам количество единиц четно. Если тройные ошибки и ошибки в большем количестве разрядов исключаются, то первый случай соответствует безошибочному приему кода. Например
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Контроль по четности в группе Контрольный бит Контроль по четности в целом Контрольный бит в целом Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Переданное кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Принятое кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 p1 1 0 1 0 1 1 Pass 0 p2 0 0 1 0 0 1 Pass 0 p3 0 1 1 0 Pass 0 p4 0 1 0 1 Pass 0 1 Pass
-
p4 p3 p2 p1 В двоичном представлении 0 0 0 0 В десятичном представлении Σ = 0
2. В принятом коде в целом количество единиц нечетно, но во всех контрольных группах количество единиц четно. Второй случай - ошибки только в разряде двойного контроля. Например
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Контроль по четности в группе Контрольный бит Контроль по четности в целом Контрольный бит в целом Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Переданное кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Принятое кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 p1 1 0 1 0 1 1 Pass 0 p2 0 0 1 0 0 1 Pass 0 p3 0 1 1 0 Pass 0 p4 0 1 0 1 Pass 0 0 Fail
-
p4 p3 p2 p1 В двоичном представлении 0 0 0 0 В десятичном представлении Σ = 0
3. В принятом коде в целом и в некоторых из контрольных групп количество единиц нечетно. Третий случай — одиночной ошибки в каком-либо из остальных разрядов (можно исправить в соответствии с приведенными выше правилами)
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Контроль по четности в группе Контрольный бит Контроль по четности в целом Контрольный бит в целом Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Переданное кодовое слово : 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Принятое кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 p1 1 0 1 0 1 0 Fail 1 p2 0 0 1 0 0 0 Fail 1 p3 0 1 1 0 Pass 0 p4 0 1 0 0 Fail 1 1 Fail
-
p4 p3 p2 p1 В двоичном представлении 1 0 1 1 В десятичном представлении 8 2 1 Σ = 11
Из таблицы следует, что ошибка произошла в 11-м разряде и что её можно исправить.
4. В принятом коде в целом количество единиц четно, но в некоторых контрольных группах имеется нечетное количество единиц - двойная ошибка
-
№ разряда: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 Контроль по четности в группе Контрольный бит Контроль по четности в целом Контрольный бит в целом Распределение контрольных и информационных разрядов p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 Переданное кодовое слово: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Принятое кодовое слово: 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 p1 1 1 1 0 1 1 Fail 1 p2 0 1 0 0 0 1 Pass 0 p3 0 1 0 0 Fail 1 p4 0 1 0 1 Pass 0 1 Pass
-
p4 p3 p2 p1 В двоичном представлении 0 1 0 1 В десятичном представлении 4 2 1 Σ = 5
Раз получившаяся сумма не равна нулю, а контрольный бит указывает на ошибку передачи, то обнаруживаем двойную ошибку. Исправление двойных ошибок здесь, конечно, невозможно.
Увеличивая дальше количество контрольных разрядов, можно было бы построить коды, рассчитанные на исправление двойных ошибок и обнаружение тройных и т.д. Однако методы построения этих кодов не вполне разработаны.
Применение
Код Хэмминга используется в некоторых прикладных программах в области хранения данных, особенно в RAID 2; кроме того, метод Хемминга давно применяется в памяти типа ECC и позволяет "на лету" исправлять однократные и обнаруживать двукратные ошибки.
См. также
Литература
- David J.C. MacKay Information Theory, Inference and Learning Algorithms. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-64298-1
- Todd K. Moon Error Correction Coding. — New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. — ISBN 978-0-471-64800-0
-
Wikimedia Foundation. 2010.
