Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет фукция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.

Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция Грина.

Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля $u = u(\mathbf{r}, t)$. Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей, тогда $u = u(\mathbf{r}, t)$ удовлетворяет волновому уравнению:

$\frac{\varepsilon(\mathbf{r}, t)}{c^2}\frac{\partial^2 u(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2}-\Delta u(\mathbf{r}, t)=0$,

$\varepsilon(\mathbf{r}, t)=\varepsilon_0+\delta \varepsilon(\mathbf{r}, t),$

где $~{c}$—скорость света в вакууме, $~{\varepsilon_0}$—среднее значение диэлектрической проницаемости, $~{\delta \varepsilon(\mathbf{r}, t)}$—флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости $~{\varepsilon_0}$ предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна, так же с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и не усредненная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon(\mathbf{r}, t)=\varepsilon(\mathbf{r})$ не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядком больше характерных времен электромагнитного поля, среда как бы не успевает "среагировать" на изменение поля.

Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нем присутствует случайный параметр $~{\delta \varepsilon(\mathbf{r})}$. Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.

Описывая рассеяние, интересны характеристики поля $u = u(\mathbf{r}, t)$ , усредненные по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля $\langle u(\mathbf{r}, t) \rangle$ и интенсивность $I = I(\mathbf{r}, t)$, которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведется по флуктуациям диэлектрической проницаемости) $\langle {u(\mathbf{r}, t)}^2 \rangle$. Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усредненное отклонение от стреднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:

$\langle \delta \varepsilon(\mathbf{r}) \rangle=0.$

Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде $u(\mathbf{r}, t)=0$.Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида: $u(\mathbf{r}, t)=u_0exp[i\mathbf{k_0}\mathbf{r}-iwt]$. Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем: $\frac{-w^2\varepsilon_0}{c^2} u(\mathbf{r},t)+{k_0}^2u(\mathbf{r}, t)=0$. Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны $~w$ и волновой вектор $~k_0$ связанны дисперсионным соотношением:

${k_0}^2=\frac{w^2\varepsilon_0}{c^2}.$

Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.

Определим функцию Грина $G(\mathbf{r}, t)$. Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения , в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника $w$). Полагаем, что источник "адиабатически включился в бесконечно далеком прошлом", для этого дополним правую часть множителем $~exp[\alpha t]$, где $~\alpha$-маленькая положительна величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:

$\frac{\varepsilon(\mathbf{r})}{c^2}\frac{\partial^2 G(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2}-\Delta G(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r}).$

Удобно искать решение этого уравнения в виде $G(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}G(\mathbf{r})$. Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:

$\frac{\varepsilon(\mathbf{r})G(\mathbf{r})}{c^2}\frac{\partial^2 e^{-iwt+\alpha t}}{\partial t^2}-e^{-iwt+\alpha t}\Delta G(\mathbf{r})=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r}).$

От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель $-(w+i\alpha)^2$, тогда получаем уравнение на функцию $G(\mathbf{r})$:

$\frac{-\varepsilon(\mathbf{r})(w+i\alpha)^2}{c^2}G(\mathbf{r})-\Delta G(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}).$

Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости $\varepsilon(\mathbf{r}),$ а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям $\delta \varepsilon(\mathbf{r})$. Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение $\delta \varepsilon(\mathbf{r})$-малой величиной.

Функция Грина для среды без флуктуаций.

Для начала необходимо найти функцию Грина $G(\mathbf{r},t)$, отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемоcти, то есть $\varepsilon(\mathbf{r})=\varepsilon_0$:

$\frac{\varepsilon_0}{c^2}\frac{\partial^2 G_0(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2}-\Delta G_0(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta(\mathbf{r})\!$

(1)

.

Снова ищем решение в виде $G_0(\mathbf{r}, t)=e^{-iwt+\alpha t}G_0(\mathbf{r})$.Тогда $G_0(\mathbf{r})$ удовлетворяет уравнению:

$-{k_0}^2 G_0(\mathbf{r})-\Delta G_0(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}),\!$

(2)

где величиной $k_0$ мы обозначили $k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon_0}(w+i\alpha)}{c}$. Видно, что у $~{k_0}$ присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение $~(2)$ удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:

$F(\mathbf{k})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\mathbf{r})e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\, d\mathbf{r},\!$

(3)

$F(\mathbf{r})=\frac{1}{{2\pi}^3}\int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\, d\mathbf{k},\!$

(4)

Выражение $~(3)$—прямое Фурье-преобразование, $F(\mathbf{k})$—Фурье-образ функции $F(\mathbf{r})$, выражение $~(4)$—обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина $G_0(\mathbf{r})$ будем обозначать через $G_0(\mathbf{k})$. Делая Фурье-преобразования в уравнении $~(2)$ и учитывая, что $~\delta$-функция является Фурье-преобразованием от единицы, получаем:

$({k}^2-{k_0}^2)G_0(\mathbf{k})=1\!$

(5)

$G_0(\mathbf{k})=\frac{1}{({k}^2-{k_0}^2)}\!$

(6)

Чтобы получить функцию $G_0(\mathbf{r})$ делаем обратное Фурье-преобразование от $G_0(\mathbf{k})$:

$G_0(\mathbf{r})=\frac{1}{{2\pi}^3}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{({k}^2-{k_0}^2)}\, d\mathbf{k}\!$

(7)

Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора $\mathbf{r}$ (под полярной осью, понимается ось, от которой отсчитывается угол $~\theta$) :

$G_0(\mathbf{r})=\frac{1}{2\pi^3}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{({k}^2-{k_0}^2)}\,dk=\frac{1}{{2\pi}^3}\int\limits_{0}^{2\pi}\,d\phi \int\limits_{0}^{\pi}sin{\theta}\,d\theta \int\limits_{0}^{\infty}k^2\frac{e^{ikr cos{\theta}}}{k^2-{k_0}^2}\,dk=$

$=\frac{2\pi}{2\pi^3}\int\limits_{\pi}^{0}\,dcos{\theta}\int\limits_{0}^{\infty}k^2\frac{e^{ikr cos{\theta}}}{k^2-{k_0}^2}\,dk=\frac{1}{2\pi^2}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-{k_0}^2}\Bigl[ \frac{e^{ikr cos{\theta}}}{ikr cos{\theta}} \Bigr]_{\pi}^{0}\,dk=$

$=\frac{1}{2\pi^2}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-{k_0}^2}\Bigl(\frac{e^{ikr}}{ikr}-\frac{e^{-ikr}}{ikr}\Bigr)\,dk=\frac{1}{2\pi^2ir}\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2-{k_0}^2}\,dk=$

$=\frac{1}{8\pi^2ir}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ke^{ikr}}{k^2-{k_0}^2}\,dk+\frac{1}{8{\pi}^2ir}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ke^{-ikr}}{k^2-{k_0}^2}\,dk=\frac{2\pi i e^{ik_0r}}{8{\pi}^2ir2}+\frac{2\pi ie^{ik_0r}}{8{\pi}^2ir2}=\frac{e^{ik_0r}}{4\pi r}$

Для вычисления интеграла по сферическим координатам, мы воспользовались четностью функции $\frac{k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^2-{k_0}^2}$, а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает $~e^{ikr}$, тогда вычет берется в $k=k_0=\frac{\sqrt{\varepsilon_0}(w+i\alpha)}{c}$. Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке $k=-k_0$, при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Нарправление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель $~(-1)$.

Итоговое выражение для функции Грина будет: $G_0(\mathbf{r}, t)=\frac{e^{ik_0r-iwt+\alpha t}}{4\pi r}$. Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как $\frac{1}{r}$ по мере удаления от источника.

Функция Грина с учетом флуктуаций.

Перепишем уравнение

$\frac{-\varepsilon(\mathbf{r})(w+i\alpha)^2}{c^2}G(\mathbf{r})-\Delta G(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r})$

в виде

$(-{k_0}^2-\Delta )G(\mathbf{r})=\frac{\delta\varepsilon(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}{k_0}^2G(\mathbf{r})+\delta(\mathbf{r}).$

Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать $\delta\varepsilon(\mathbf{r})$ малой величиной удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:

$G(\mathbf{r})=G_0(\mathbf{r})+\frac{{k_0}^2}{\varepsilon_0}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})G(\mathbf{r_1})\,dr_1.$

Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:

$G(\mathbf{r})=G_0(\mathbf{r})+\frac{{k_0}^2}{\varepsilon_0}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})G_0(\mathbf{r_1})\,d\mathbf{r_1}+$

$+\frac{{k_0}^4}{{\varepsilon_0}^2}\int G_0(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\delta\varepsilon(\mathbf{r_1})\int G_0(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2})\delta\varepsilon(\mathbf{r_2})G_0(\mathbf{r_2})\,d\mathbf{r_1},d\mathbf{r_2}+...$

Величина $G(\mathbf{r})$——случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднять по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоемкий шаг.

Примечания

Литература

• С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский Введение в статистическую радиофизику, ч. 2, Случайные поля. М.: Наука, 1978
• А. Исимару Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Т.1, 2. М.:Мир, 1981