Вейвлет Койфлет

Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций

Вейвлеты — ортонормированный базис в $L_2$. С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и ее временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки ^[1].

Построение систем вейвлет-функций

Определение скейлинг-функции

Пусть $\varphi(t)$ представляет собой функцию из в $L_2$, такую что множество ее трансляций

$\{ {\varphi}_{0, \;k}(t)\bigr|\varphi_{0, \;k}(t)=\varphi(t-k) \},$ ($k \in \Zeta$ — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в $L_2(R)$.

Введем ${\varphi}_{j, \;k}(t)$ согласно:

${\varphi}_{j, \;k}(t)=2^{j/2}\varphi(2^jt-k) j, k\in \Zeta.$

Пусть $\{ {\varphi}_{0, \;k}(t)\}$ — ортонормированный базис пространства $V_0$. Тогда для любой функции $f(t)\in\mbox{V}_\mathrm{0}$:

$f(t)=\sum_k C_k \varphi(t-k).$

Далее, пусть $\{ {\varphi}_{j, \;k}(t)\}$ — ортонормированный базис пространства $V_j$ , $j\in\Zeta$. Тогда мы получаем последовательность пространств $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$, таких что

$V_j\subset V_{j+1}$.

Определение. Пусть ${\varphi}_{0, \;k}(t)$ — ортонормированный базис в $L_2$, тогда разложение функции $f(t)\in L_2$ по базисам пространств $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ называется многомасштабным анализом в $L_2$.

Определение. Если $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_2$, функция $\varphi(t)$ порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции

Пусть последовательность пространств $\{V_j\bigr|j\in \Zeta \}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_2$. Определим пространство $W_j$ как дополнение пространства $V_j$ до пространства $V_{j+1}$, то есть $W_j=V_{j+1}\backslash V_j$. Тогда

$V_j=V_0\oplus\bigoplus_{k=0}^{j}W_k$,

или же:

${L}_{2}=V_0\oplus\bigoplus_{j=0}^{\infty}W_j$. $(1)$

Построим материнскую вейвлет-функцию $\psi(t) \in {L}_{2}$ ортогональную скейлинг-функции $\varphi(t)$. В результате получим набор функций $\{{\psi}_{j, \;k}(t)\bigr|j,k \in \Zeta \}$ — базис в пространстве $W_j$.

Вейвлет-разложение

Таким образом, согласно (1) и определению функций ${\psi}_{j, \;k}(t)$ и ${\varphi}_{j, \;k}(t))$ как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция $f(t)\in L_2$ может быть разложена в сходящийся в $L_2$ ряд:

$f(t)=\sum_k {\alpha}_k{\varphi}_{0,\;k}(t)+\sum_j\sum_k {\beta}_{j,\;k}{\psi}_{k,\;j}(t),$

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

${\alpha}_k=\int f(t){\varphi}_{0,\;k}^{\ast}(t)dt,$

${\beta}_{j,\;k}=\int f(t){\psi}_{j,\;k}^{\ast}(t)dt.$

Коэффициенты ${\alpha}_{k}$ дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты ${\beta}_{j,\;k}$ содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств $W_j$ используемых для анализа.

Функция $m_0(\omega)$

Утверждение. Пространства $V_j$ являются вложенными $V_j\subset V_{j+1}$ , $j\in \Zeta$ при условии, что существует $2\pi$ — периодическая функция $m_0(w)\in L_2(0,2\pi)$ такая, что

$\hat{\varphi}(\omega)=m_0\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right)$, $(2)$

где $\hat{\varphi}(\omega)$ — Фурье-образ функции $\varphi(t)$ (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций $\{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \}$ является ортонормированной в $L_2$ тогда и только тогда, когда

$\sum_k \bigr|\hat{\varphi}(\omega+2\pi k){\bigr|}^{2}=1$. (3)

Лемма 1. Положим, что $\{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \}$представляет собой ортонормированный базис в $L_2$ . Тогда для любой $2\pi$ -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

$\bigr| {m}_{0}(\omega) {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}(\omega+\pi){\bigr|}^2=1$. (4)

Лемма 2.В том случае, если $\varphi(t)$ представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как $m_0(\omega)$ — $2\pi$ -периодическую функцию из $L_2(0,2\pi)$ , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

$\hat{\psi}(\omega)=m_{1}\left(\frac{\omega}{2}\right) \hat{\varphi}\left(\frac{\omega}{2}\right)$, $(5)$

где

$m_1(\omega)=m_{0}^{*}(\omega+\pi)\exp(-jw)$ — вейвлет-функция. (6)

Таким образом, скейлинг-функция $\varphi(t)$ и материнская вейвлет-функция $\psi(t)$ определяются $2\pi$ -периодической функцией $m_0(w)\in L_2(0,2\pi)$ согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

$m_0(0)=0$.

Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты

Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей $2\pi$ -периодической функцией $m_0(w)\in L_2(0,2\pi)$, но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.

Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.

Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию $m_0(\omega)$ :

$m_0(\omega)=\left(\frac{1+\exp(-j\omega)}{2} \right)^NL(\omega),$

где $L(\omega)$ — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:

1. $\int \varphi(t){t}^{l}dt=0, l=1,..,N-1;$
2. $\int \varphi(t)tdt=1;$
3. $\int \psi(t){t}^{l}dt=0, l=0,..,N-1.$

Или в частотной области:

1. $\hat{\varphi}^{(l)}(0)=0, l=1,..,N-1;$
2. $\hat{\varphi}(0)=1;$
3. $\hat{\psi}^{(l)}(0)=0, l=0,..,N-1.$

Условие $\hat{\varphi}^{(l)}(0)=0$ подразумевает ${m}^{(l)}(0)=0, l=1,..,N-1;$.

Если существует некоторое число $N=2K, K \in \Nu$, тогда, согласно работе ^[2]рассматриваемая функция $m_0(\omega)$ для койфлетов может быть представлена в виде:

$m_0(\omega)=\left(\frac{1+\exp(-j\omega)}{2} \right)^{2K}{P}_1{}(\omega),$

где

${P}_{1}(\omega)=\sum_{k=0}^{K-1}\left[\left(\begin{array}{c}\frac{k}{K-1+k} \end{array}\right) \left(\sin(\frac{\omega}{2})\right)^{2k}+\left(\sin(\frac{\omega}{2})\right)^{2K}F(\omega)\right],$ (7)

$F(\omega)$ — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:

$\bigr| {m}_{0}(\omega) {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}(\omega+\pi){\bigr|}^2=1$.

Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома $m_0(\omega)$ в виде (7), называются койфлетами уровня $N=2K$ .

Преимущества и пременение койфлетов

• Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
• Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
• Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.

См. также

• Вейвлет
• Вейвлет Хаара
• Вейвлеты Добеши

Литература

• Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — http://www.quantlet.de/scripts/wav/html .
• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.

Примечания

1. ↑ Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование. // УФН. — т. 171. — № 5. — С.465-501.
2. ↑ Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets, SIAM, Philadelphia.