Вариационный метод

Вариационный метод - метод решения математических задач с помощью минимизации определенного функционала, используя пробную функцию, которая зависит от небольшого количества параметров .

Квантовая механика

Состояние квантовомеханической системы определяется волновой функцией, которая находится из стационарного уравнения Шредингера

$\hat{H}\psi = E\psi$,

где $\hat{H}$ - гамильтониан системы.

В общем случае большого числа частиц (три в квантовой механике частицы уже много) решить уравнение Шредингера аналитически и даже численно^{[источник не указан 107 дней]}, не используя дополнительных приближений, невозможно.

Функционал

$\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau$,

где интегрирование проводится по всему координатном пространства , а ψ -произвольная функция всех переменных системы, имеет минимальное значение при определенной функции $\psi_0$, которая отвечает основному состоянию системы и является решением уравнения Шредингера.

Вариационный метод заключается в том, чтобы использовать для решения какую-то пробную функцию переменных системы $\phi(\lambda_i) \,$, зависящую от нескольких параметров $\lambda_i$, которая удовлетворяла бы условию нормировки

$\langle \phi|\phi \rangle = 1$.

В таком случае

$\Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i) \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i) d\tau$

является функцией (уже не функционалом) от параметров $\lambda_i$ и дополнительного параметра E. Минимум этого функционала по всем параметрам $\lambda_i$ определяет приближение к энергии основного состояния системы. Этот минимум находят из системы уравнений

$\frac{\partial \Phi(\lambda_i, E)}{\partial \lambda_j} = 0$,

учитывая условие нормировки, или любым другим способом минимизации.

Вариационный метод дает лучшее приближение к энергии основного состояния для данной формы пробной функции. При удачно выбранной пробной функции это приближение может быть достаточно точным, незначительно отличаясь от того, что наблюдается на эксперименте. Удачно выбранная пробная функция позволяет также делать качественные выводы о поведении квантовомеханической системы.

Выбор пробной функции является определенным искусством. Обычно при этом опираются на определенные физические представления о поведении системы. Увеличение числа параметров в пробной функции позволяет улучшить результат, но усложняет задачу, а иногда может привести к отысканию ложного локального минимума .