Аналитический сигнал

Аналитический сигнал (аналитическое представление сигнала) — используемое в теории обработки сигналов математическое представление аналогового сигнала в виде комплекснозначной аналитической функции времени. Обычный, действительный сигнал x является при этом действительной частью аналитического представления x_a.

Идея преобразования — оставить лишь неотрицательные частоты в спектре сигнала, достаточные для его восстановления в силу эрмитовой симметрии: $X(-f) = \overline{X(f)}$.

Аналитический сигнал является обобщением понятия комплексной амплитуды на случай сигналов, отличных от гармонического.

Определение

Пусть x(t) — представляющая сигнал действительнозначная функция, преобразование Фурье (т.е. спектр) которой обозначим X(f),^[1], а u(f) — функция Хевисайда.

Тогда:

$\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{for } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{for } f < 0, \end{cases} \\ &= X(f)\cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align}$

содержит лишь неотрицательную часть спектра X(f).

Подвергая полученный спектр $X_\mathrm{a}(f)\,$ обратному преобразованию Фурье, мы и получаем аналитический сигнал:

$\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end{align}$

где * — свёртка, $\hat{x}(t)$ — преобразование Гильберта функции $x(t),\,$ а $j,\,$ как принято в данной науке, означает мнимую единицу.

Примеры

Пусть  $x(t) = \cos(\omega_0 t)\,$ для некоторой частоты $\omega_0 > 0\,$

Тогда:

$\hat{x}(t) = \cos(\omega_0 t -\begin{matrix} \frac{\pi }{2} \end{matrix}) = \sin(\omega_0 t)\,$

$x_\mathrm{a}(t) = \cos(\omega_0 t) + j\cdot \sin(\omega_0 t) = e^{j \omega_0 t}\,$

Это комплексная функция с возрастающим по времени аргументом.

Практические применения

Устранение «отрицательных частот» используется в аналоговой передаче звука (АМ-радиовещание, аналоговая телефонная связь) для экономии полосы частот.

Примечания

1. ↑ Обращаем внимание на то, что f — переменная частоты, а не функция.

См. также

• Комплексное сопротивление

Внешние ссылки

• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.

У этой статьи нет иллюстраций. Вы можете помочь проекту, добавив их (с соблюдением правил использования изображений). Для поиска иллюстраций можно: попробовать воспользоваться инструментом FIST: нажмите эту ссылку, чтобы начать поиск; попытаться найти изображение на Викискладе; просмотреть иноязычные варианты статьи (если они есть); см. также Википедия:Источники изображений.