Sgn

График функции y = sgn x

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция. Обозначается sgn x или sgn(x). Определяется следующим образом:

$\sgn x = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

$~\sgn x = \frac{d}{dx} |x|$

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История

Функцию sgn(x) ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: [x]. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с sgn, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение $sgn \cdot x$, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.

Свойства функции

• Область определения: $(- \infty ; + \infty )$.
• Область значений: $~\{-1; 0; +1\}$.
• Гладка во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны $+1$ и $-1$ соответственно.
• $x = \sgn x \cdot |x|$ для $\forall x \in \mathbb{R}$
• $\frac{d}{dx}\sgn x = 2 \cdot \delta (x)$, где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака.

См. также

• Функция Хевисайда

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.