Геометрическая прогрессия это:

Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q \quad (знаменатель прогрессии), где b_1\not=0, q\not=0: b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q[1].

Содержание

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

b_n=b_1q^{n-1} \quad

Если b_1>0 и q>1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0<q<1, — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

 |b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8-9.
  • Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
  • \pi, \pi, \pi, \pi — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

  •  b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, i < n
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
    P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2},
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
    P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}}
  • Сумма n первых членов геометрической прогрессии:
    S_n = \begin{cases}
  \sum_{i=1}^n  b_i = \frac{b_1-b_1q^{n}}{1-q}=b_1\frac{1-q^{n}}{1-q}, & \mbox{if } q \ne 1 \\
  nb_1, & \mbox{if } q = 1
\end{cases}
  • Если \left| q \right|<1, то  b_n \to 0 при n \to +\infty, и
    S_n \to {b_1 \over 1-q} при n \to +\infty.

Примечания

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Геометрическая прогрессия" в других словарях:

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — (geometric progression) Последовательность чисел, в которой каждый последующий член образован умножением предыдущего члена на постоянный множитель. Например, геометрической прогрессией является последовательность а, аr, аr2, аr3,..., аrN.… …   Экономический словарь

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, из которых каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число q, называемого знаменателем геометрической прогрессии, напр., 2, 8, 32, 128,..., q = 4 …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел, у которой каждое последующее число равно предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число (называемое общим коэффициентом, или знаменателем). Имеет следующий вид: а, аr, аr2,… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число q, отличное от нуля (знаменатель прогрессии). Г. п. называют… …   Большая политехническая энциклопедия

  • геометрическая прогрессия — последовательность чисел, из которых каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число q, называемое знаменателем геометрической прогрессии, например 2, 8, 32, 128, ..., q = 4. * * * ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ… …   Энциклопедический словарь

  • Геометрическая прогрессия —         последовательность чисел (a1, a2,…, an…), из которых каждое равно предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число q (знаменатель Г. п.); например 2, 8, 32,..., n = 4. Если q > 1 (q < 1), то Г. П. возрастающая… …   Большая советская энциклопедия

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последовательность чисел, из к рых каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число g, наз. знаменателем Г. п., напр. 2, 8, 32, 128, ... , g = 4 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Прогрессия — Прогрессия  последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Арифметическая прогрессия  прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему,… …   Википедия

  • прогрессия — и, ж. prgression f. <, лат. progressio движение вперед, рост. 1. В математике ряд увеличивающихся или уменьшающихся чисел, в котором разность или отношение между соседними величинами сохраняет постоянную величину. Арифметическая,… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • ПРОГРЕССИЯ — см. Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия …   Большой Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «Геометрическая прогрессия» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»