Элементарная алгебра

Элемента́рная а́лгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.

Законы элементарной алгебры

Правила записи

1. Если между символами переменных не указан знак операций, подразумевается умножение: $ab = a \cdot b$ . То же верно для сочетания константы и переменной (например, 1,2x), а также выражений в скобках: $\pi~(a^2~+~b^2)$ или $(a-b)(a+b)$.
2. Порядок выполнения операций указывается скобками. Если скобок нет, то приоритетность, в порядке убывания, следующая.
   1. Возведение в степень.
   2. Вычисление функции.
   3. Умножение и деление.
   4. Сложение и вычитание.

Примеры:

• $a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}$
• $\sin x^2 = \sin (x^2)$
• $\sin a + b = (\sin a) + b$

Свойства операций

• Коммутативность (перестановочное свойство) сложения:

$a + b = b + a. \$

• Вычитание есть действие, обратное сложению.
• Вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b:

$a - b = a + (-b). \$

• Коммутативность (перестановочное свойство) умножения:

$a \times b = b \times a \$

• Деление есть действие, обратное умножению.
• Деление на нуль невозможно.
• Деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:

${a \over b} = a \left( {1 \over b} \right).$

• Возведение в степень не коммутативно. Поэтому у него имеются две обратные операции: извлечение корня и логарифмирование.
  • Пример: если $3^x = 10$, то $x = \log_3 10 .$ Если $x^{2} = 10$, то $x = 10^{1 / 2}.$
• Корень чётной степени из отрицательного числа не существует (среди вещественных чисел). См. комплексные числа.
• Ассоциативное (сочетательное) свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c).$
• Ассоциативное (сочетательное) свойство умножения: $(ab)c = a(bc).$
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для умножения: $c(a + b) = ca + cb.$
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для возведения в степень: $(a b)^c = a^c b^c .$
• Сложение показателей степени: $a^b a^c = a^{b+c} .$
• Умножение показателей степени: $(a^b)^c = a^{bc} .$

Свойства равенства

• Если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$ (транзитивность равенства).
• $a = a$ (рефлексивность).
• Если $a = b$, то $b = a$ (симметричность).

Другие законы

• Если $a = b$ и $c = d$, то $a + c = b + d.$
  • Если $a = b$, то $a + c = b + c$ для любого c (аддитивность равенства).
• Если $a = b$ и $c = d$, то $ac$ = $bd.$
  • Если $a = b$, то $ac = bc$ для любого c (мультипликативность равенства).
• Если значения двух символов совпадают, то вместо одного можно подставить другой (принцип подстановки).
• Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$ (транзитивность порядка).
• Если $a > b$, то $a + c > b + c$ для любого c.
• Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc.$
• Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc.$

Исторический очерк

О происхождении названия науки см. Алгебра.

Идея записывать общие свойства чисел и вычислительные алгоритмы на особом символическом метаязыке появилась давно, однако первоначально буквенные символы в уравнениях обозначали только неизвестные, значения которых следует найти, а для прочих членов уравнения записывали конкретные числовые значения. Мысль о том, что известные величины (коэффициенты) тоже полезно для общности обозначать символами, пробивала себе путь медленно.

Впервые, насколько можно судить по дошедшим до нас древним сочинениям, развитая алгебраическая система появляется в «Арифметике» Диофанта (IV век). Вряд ли можно сомневаться, что у него были предшественники, как они имелись у Евклида, Архимеда и других, однако мы ничего не знаем ни о людях, ни о трудах, на которые мог опираться этот замечательный алгебраист. Да и последователей у него не было до XV века. Впрочем, в Европе с переводом «Арифметики» познакомились только в XVI веке, и методы Диофанта оказали огромное влияние на Виета и Ферма.

Основная проблематика «Арифметики» — нахождение рациональных решений неопределённых уравнений (многочленов произвольной степени) с рациональными коэффициентами. У Диофанта используется буквенная символика, правда, по-прежнему только для неизвестных. Во введении к «Арифметике» Диофант принимает следующие обозначения: неизвестную он называет «числом» и обозначает буквой ξ, квадрат неизвестной — символом $\delta ^ \nu$ и т. д. Особые символы обозначали отрицательные степени, знак равенства и даже, похоже, отрицательные числа (есть даже правило знаков: минус на минус даёт плюс). Всё прочее выражается словесно. Сформулированы многие привычные нам правила алгебры: смена знака при переносе в другую часть уравнения, сокращение общих членов и др.

Индийские математики средневековья тоже далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами).

В Европе, в книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморария (XIII век) усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрии. У него, а также у Фибоначчи уже встречаются выражения вроде "a лошадей за f дней съедают e мер овса". Однако в общую концепцию изложения символизм у них ещё не включён.

Крупнейший алгебраист XV века Лука Пачоли вводит свой аналог алгебраической символики, ещё не слишком общий и не слишком удобный.

Концептуальную реформу и коренные улучшения алгебраического языка ввёл в конце XVI века Франсуа Виет, адвокат по профессии, математик по склонности души. Он чётко представлял себе конечную цель — разработку «нового исчисления», своего рода обобщённой арифметики. Виет обозначал буквами все коэффициенты (кстати, именно Виет придумал этот термин). Все задачи решаются в общем виде, и только потом приводится числовые примеры. Виет свободно применяет алгебраические преобразования, замену переменных и другие алгебраические приёмы.

Система Виета вызвала всеобщее восхищение. Она позволила описать законы арифметики и алгоритмы с немыслимыми ранее общностью и компактностью, облегчила и углубила исследование общих числовых законов. Однако символика Виета была непохожа на современную, местами громоздка, и учёные разных стран приступили к её совершенствованию.

Англичанин Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: он обозначает переменные строчными буквами, а не заглавными, как у Виета, использует знак равенства, а также придуманные им символы сравнения «>» и «<».

Практически современный вид алгебраической символике придал Рене Декарт (середина XVII века, трактат «Геометрия»). Итогом и завершением этого процесса стала «Универсальная арифметика» Ньютона. Некоторые оставшиеся тонкости уточнил Эйлер.

См. также

• Абстрактная алгебра
• Алгебра
• Знаки операций
• История математических обозначений

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.