Яркостная температура

Яркостная температура — фотометрическая величина, характеризующая интенсивность излучения. Часто используется в радиоастрономии.

В диапазоне частот

По определению, яркостная температура $T_b$ в диапазоне частот $\Delta \nu$ — это такая температура, которую имело бы абсолютно чёрное тело, обладающее такой же интенсивностью в данном диапазоне частот. Интенсивность излучения абсолютно черного тела задается формулой Планка:

$I_{\nu}=\frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp{\frac{h\nu}{kT}}-1}$, где

$\nu$ — частота излучения, $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света, $k$ — постоянная Больцмана. Отсюда имеем:

$T_b=\frac{h\nu}{k} \ln^{-1}\left( 1 + \frac{2h\nu^3}{I_{\nu}c^2} \right)$

Для случая низких частот $h\nu \ll kT$ формула Планка сводится к формуле Рэлея-Джинса:

$I_{\nu} = \frac{2 \nu^2k T}{c^2}$

Тогда яркостная температура выражется:

$T_b=\frac{I_{\nu}c^2}{2k\nu^2}$

В диапазоне длин волн

Интенсивность излучения абсолютно черного тела в диапазоне длин волн задается формулой Планка для длин волн:

$I_{\lambda}=\frac{2 hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{ e^{\frac{hc}{kT \lambda}} - 1}$, где

Отсюда яркостная температура в диапазоне длин волн $\Delta \lambda$ выражается формулой:

$T_b=\frac{hc}{k\lambda} \ln^{-1}\left(1 + \frac{2hc^2}{I_{\lambda}\lambda^5} \right)$

Для длинноволнового излучения $hc/\lambda \ll kT$ яркостная температура выражется:

$T_b=\frac{I_{\lambda}\lambda^4}{2kc}$

Для излучения, близкого к монохроматическому, яркостную температуру можно выразить через энергетическую яркость $I$ и длину когерентности $L$:

$T_b=\frac{I \lambda^2 L}{2kc}$

Нужно отметить, что яркостная температура не является температурой в привычном понимании. Она характеризует излучение, и в зависимости от механизма излучения может значительно отличаться от физической температуры излучающего тела (хотя построить устройство, которое будет нагреваться источником излучения с некоторой яркостной температурой до реальной температуры, равной яркостной, теоретически возможно^[1]). У нетепловых источников яркостная температура может быть очень высокой. У пульсаров она достигает $10^{26}$K^[2]. Для излучения гелий-неонового лазера мощностью 60 мВт с длиной когерентности 20 см, сфокусированного в пятне диаметром 10 мкм, яркостная температура составит почти 6·10⁹ К. Для чисто тепловых источников их яркостная температура совпадает с их физической температурой.

Примечания

1. ↑ Например, классическая модель абсолютно чёрного тела в виде замкнутой ёмкости с небольшим отверстием, которое закрыто светофильтром, пропускающим только очень узкую полосу излучения нужной частоты, и полностью отражающим все остальные частоты. Излучение источника должно быть сфокусировано на этом отверстии.
2. ↑ Лекции по Общей астрофизике на www.astronet.ru

См. также

• Температура
• Антенная температура
• Шумовая температура антенны

Литература

1. Каплан С. А. Элементарная радиоастрономия. — «Наука», 1966.