Эллипсограф

Кинематика эллипсографа

Эллипсограф или Сеть Архимеда — это механизм, который способен преобразовывать возвратно-поступательное движение в эллипсоидное.^[1] Он состоит из двух ползунов, которые могут двигаться по двум перпендикулярным канавкам или направляющим. Ползуны прикреплены к стержню посредством шарниров, и находятся на фиксированном расстоянии друг от друга вдоль стержня. Ползуны движутся вперёд и назад — каждый по своей канавке, — и конец стержня описывает эллипс на плоскости. Полуоси эллипса a и b представляют собой расстояния от конца стержня до шарниров на ползунах. Обычно расстояния a и b можно варьировать, и тем самым менять форму и размеры описываемого эллипса.

Этот механизм применяется в качестве чертёжных инструментов, а также для разрезания стекла, картона, фанеры и других листовых материалов.

История этого механизма точно не определена, но считается, что эллипсографы существовали ещё во времена Диадоха или даже во времена Архимеда.^[2]

Эллипсограф в действии.

Математическое описание

Геометрические построения к математическому описанию эллипсографа

Пусть C — это конец стержня, и A, B — шарниры на ползунах. Пусть p и q — расстояния от A до B, и от B до C, соответственно. Координатные оси y и x проведём таким образом, что движение ползунов A и B будет происходить вдоль этих осей, соответственно. Когда стержень образует угол θ с осью x, координаты точки C определяются уравнениями

$x = (p+q) \cos\theta\,$

$y = q \sin\theta\,$

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса.

Наклонные направляющие эллипсографа

В более общем случае направляющие, по которым движутся ползуны, могут быть не перпендикулярны друг другу, и точки A, B и C могут образовывать треугольник. Результирующая траектория точки C останется эллипсом.^[2]

Примечания

1. ↑ Schwartzman Steven The Words of Mathematics. — The Mathematical Association of America, 1996. — ISBN 0883855119 (restricted online copyв Google Books)
2. ↑ ^{1 2} Wetzel, John E. (February 2010). «An Ancient Elliptic Locus». American Mathematical Monthly 117 (2): 161–167.

Литература

• J. W. Downs: Practical Conic Sections: The Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. Courier Dover 2003, ISBN 9780486428765, p. 4-5

См. также

• Шарнирные методы построения лемнискаты Бернулли.
• Шотландский механизм.

Ссылки

• Вырезая эллипс на дереве
• Фотографии игрушек на основе эллипсографа
• Видео игрушек, сделанных из кирпичиков «Лего»