Число Грэма

Число Грэма (Грехема, англ. Graham's number) — большое число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Названо в честь Рональда Грэма (англ.).

Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле, вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема, предполагая, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка. Даже степенные башни вида $a ^{ b ^{ c ^{ \cdot ^{ \cdot ^{ \cdot}}}}}$ бесполезны для этой цели, хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких как стрелочная нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грехемом. Последние 500 цифр числа Грехема — это ...02425950695064738395657479136519351798334535362521 43003540126026771622672160419810652263169355188780 38814483140652526168785095552646051071172000997092 91249544378887496062882911725063001303622934916080 25459461494578871427832350829242102091825896753560 43086993801689249889268099510169055919951195027887 17830837018340236474548882222161573228010132974509 27344594504343300901096928025352751833289884461508 94042482650181938515625357963996189939679054966380 03222348723967018485186439059104575627262464195387.

В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грехема, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала.

Проблема Грехема

Число Грехема связано со следующей проблемой в теории Рамсея:

Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с $2^n$ вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

Грехем и Ротшильд в 1971 году доказали, что эта проблема имеет решение, N*, и показали что 6 ≤ N* ≤ N, где N — конкретное, точно определённое, очень большое число. На языке стрелочной нотации Кнута оно может быть записано как $N = F^7(12) \,\!$, где $F(n) = 2\uparrow^{n} 3 \,\!$.

Нижняя граница была улучшена Экзу в 2003 году и Баркли в 2008 году, который показал, что N* должно быть не меньше 13. Таким образом, 13 ≤ N* ≤ N.

Предметом настоящей статьи является верхняя граница G, которая много слабее (то есть больше), чем N; а именно $G = f^{64}(4) \,\!$, где $f(n) = 3 \uparrow^n 3 \,\!$. Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грехема, и была описана (и названа числом Грехема) Мартином Гарднером.

Определение числа Грехема

Используя стрелочную нотацию Кнута, число Грехема G может быть записано как

$\left. \begin{matrix} G &=&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ & &\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\ & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\ & &3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix} \right \} \text{64 layers}$

где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть

$G = g_{64},\text{ где }g_1=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3,\ g_n = 3\uparrow^{g_{n-1}}3,$

и где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, G вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем g₁ с четырьмя стрелками между тройками, на втором — g₂ с g₁ стрелок между тройками, на третьем — g₃ с g₂ стрелок между тройками и так далее, в конце мы вычисляем G = g₆₄ с g₆₃ стрелок между тройками.

Это может быть записано как

$G = f^{64}(4),\text{ где }f(n) = 3 \uparrow^n 3,$

где верхний индекс у f означает итерации функций. Функция f является частным случаем гипероператоров, $f(n) = \text{hyper}(3,n+2,3)$, и может быть так же записана при помощи цепных стрелок Конвея как $f(n) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow n$. Последняя запись так же позволяет записать следующие граничные значения для G:

$3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < G < 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.$

Масштаб числа Грехема

Для того, чтобы осознать невероятный размер числа Грехема, полезно попробовать представить через возведение в степень хотя бы первый член (g₁) стремительно растущей 64-членной последовательности. На языке тетраций $\uparrow\uparrow$ означает:

$g_1 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots ))$

где число троек в выражении справа

$3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 \ = \ 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3).$

Теперь каждая тетрация ($\uparrow\uparrow$) по определению разворачивается в «степенную башню» как

$3 \uparrow\uparrow X \ = \ 3 \uparrow (3 \uparrow (3 \uparrow \dots (3 \uparrow 3) \dots )) \ = \ 3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}$, где X — количество 3-ек.

Таким образом,

$g_1 = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots ))$, где количество троек — $3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3)$

записанное на языке степеней

$g_1 = \left. \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}\end{matrix} \right \} \left. \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix} \right \} \dots \left. \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix} \right \} 3 \quad$, где число башен — $\quad \left. \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix} \right \} \left. \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix} \right \} 3$

и где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.

Другими словами, g₁ вычисляется путём вычисления количества башен, n = $3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}$ (где число троек — $3^{3^{3}}$ = 7625597484987), и затем вычисляя n башен в следующем порядке:

      1ая башня:  3

      2ая башня:  3↑3↑3 (количество троек — 3) = 7625597484987

      3я башня:  3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек — 7625597484987) = ...

      .
      .
      .

 g1 = nая башня:  3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек задаётся результатом вычисления n-1ой башни)

Масштаб первого члена, g₁, настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя n это всего лишь количество башен в этой формуле для g₁, уже это число много больше количества объёмов Планка, которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно 8.5*10¹⁸⁵). После первого члена нас ожидает ещё 63 члена стремительно растущей последовательности.

См. также

• теорема Краскала
• функция Аккермана

Литература

• Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey's Theorem for n-Parameter Sets». Transactions of the American Mathematical Society 159: 257-292. DOI:10.2307/1996010. The explicit formula for N appears on p. 290.
• Graham, R. L.; Rothschild, B.L. (1978). «Ramsey Theory», Studies in Combinatorics, Rota, G.-G., ed., Mathematical Association of America, 17:80-99. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.
• Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games». Scientific American 237: 18-28.; reprinted (revised 2001) in the following book:
• Gardner Martin The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York, NY: Norton, 2001. — ISBN 0393020231
• Gardner Martin Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. — Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1989. — ISBN 0-88385-521-6
• Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete Computational Geometry 29: 223-227. DOI:10.1007/s00454-002-0780-5.

Ссылки

• «Проблема Рамсей о гиперкубах». Geoff Exoo (англ.)
• Weisstein, Eric W. Graham’s number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Как вычислить число Грэма (англ.)
• Numeropedia — the Special Encyclopedia of Numbers (англ.)