Уравнение Ландау

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм

Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Никола Тесла Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

См. также: Портал:Физика

У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнение Ландау — Лифшица.

Уравнение Ландау — Лифшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Формулировка

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)$

где $\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)$ — плотность магнитного момента (намагниченность), $\gamma$ — некоторая феноменологическая постоянная, $\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)$ — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная $\gamma$ не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в $S$-состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), $\gamma$ можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности^[1]. Это выполняется для CdCr₂Se₄, железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂, пермаллоя Fe_20+xNi_80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту^[2]

$\mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)$

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия $F$ равна внутренней $E$.

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на $\mathbf M$, что даст

$\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)$

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен^[3], поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина $\mathbf S_n$

$i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)$

к уравнению (1) путем замены $\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)$ и разложения поля намагниченности $\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})$ вблизи точки $\mathbf r_n$ в ряд Тейлора^[4]. Тут $[\bullet,\bullet]$ — коммутатор, $\mathcal H$ — гамильтониан, $\mathbf S_n$ — оператор спина для n-го узла решетки, а $\mathbf r_n$ — его радиус-вектор, $a$ — постоянная решетки, $\mu_B$ — магнетон Бора.

Модификации

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм^[5]. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — Лифшица

Ландау и Лифшиц предложили^[6] следующую модификацию:

$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\right],\qquad (5)$

где $\lambda$ — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину $\lambda_1=|\gamma|\lambda$.

Уравнение Ландау — Лифшица — Гильберта

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t}],\qquad (6)$

где $\alpha$ — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

$\gamma\to \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\to \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)$

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6)^[7].

Уравнение Блоха — Бломергена

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

$\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff}}),\qquad (8)$

где $\chi_0$ — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а $\omega_r$ — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного тока

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида $|\gamma|\mathbf T$. Один из подходов к его конкретизации^[8] состоит в разложении вектора $|\gamma|\mathbf T$ по осям, направленным вдоль $\mathbf M$, $[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$ и $\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$. Тут $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$ — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

$\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\quad \mathbf T_{\perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)$

где коэффциценты $a_J$ и $b_J$ пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между $\mathbf M$ и $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$.

Другие формы записи

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат $\theta$ и $\phi$. В таком случае вектор намагничености можно представить как

$M_x + M_y=M_s\sin\theta e^{i\phi},\quad M_z = M_s\cos\theta,$

где $M_s$ — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (1) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности $\delta \mathbf M$, выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

$\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)$

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

$\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2\theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)$

См. также

• Ландау, Лев Давидович
• Лифшиц, Евгений Михайлович
• Ферромагнетики
• Ферримагнетики

Примечания

1. ↑ Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 17.
2. ↑ Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
3. ↑ Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
4. ↑ В этом случае обычно ограничиваются членами второго порядка малости, так как в случае, когда каждый узел решетки является её центром симметрии, содержащее первую производную по координате слагаемое обращается в нуль.
5. ↑ Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 27.
6. ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128
7. ↑ Hubert Alex Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084 на стр. 151.
8. ↑ Звездин А. К., и др. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. [УФН, 178, с. 436–442 (2008) [1]

Литература

• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. http://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Hubert Alex Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084

Ссылки

• OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на C++ и Tcl/Tk.
• Ферромагнитные домены