θ-функция

Тэта-функции  — специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции. Основные четыре Тэта-функции определяются следующими быстро сходящимися рядами:

$\theta_1(z,q)=2q^{1/4} \sin z \ - \ 2q^{9/4}\sin3z \ + \ 2q^{25/4}\sin5z \ + \ \ldots,$

$\theta_2(z,q)=2q^{1/4} \cos z \ + \ 2q^{9/4}\cos3z \ + \ 2q^{25/4}\cos5z \ + \ \ldots,$

$\theta_3(z,q)=1 \ + \ 2q\cos 2z \ + \ 2q^4\cos4z \ + \ 2q^9\cos6z \ + \ \ldots,$

$\theta_4(z,q)=1 \ - \ 2q\cos 2z \ + \ 2q^4\cos4z \ - \ 2q^9\cos6z \ + \ \ldots,$ где $|q| \ < \ 1$.

При добавлении $\ \pi$ к аргументу $z\$ эти функции приобретают соответственно множители −1, −1, 1, 1, а при добавлении $\ \pi \tau$, где $\ \tau$ связано с $\ q$ соотношением $\ q=e^{\pi \iota \tau}$, множители $-N, \ N, \ N, \ -N \ (N=q^{-1}e^{-2\iota k}$. Отсюда следует, что, например, отношение $\vartheta_1(z)/ \vartheta_4(z)$ представляет мероморфную функцию, не изменяющуюся при добавлении к аргументу $\ 2\pi$ или $\ \pi \tau$, то есть эллиптическую функцию с периодами $\ 2\pi$ или $\ \pi \tau$.

Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Тэта-функции, построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций.

Литература

• Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.

Ссылки

• «Тэта-функции и нелинейные уравнения» в электронной библиотеке «Прометей»
• Эллиптические функции, Процедуры для Matlab