- Троичные функции
-
Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа
, где 
— троичное множество, а 
— неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции.Элементы множества — цифровые знаки 0, 1 и 2 могут интерпретироваться как логические «ложь», «неизвестно» и «истина», в общем случае их смысл может быть любым. Элементы
называют троичными векторами. В случае n = 0 троичная функция превращается в троичную константу.Каждая троичная функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех троичных векторах длины n. Число таких векторов равно 3n. Поскольку на каждом векторе трёхзначная функция может принимать одно из трёх различных значений, то количество всех n-арных троичных функций равно 3(3n) (скобки нужны, так как запись 33n не обладает свойством ассоциативности и 3(32)=39=19683, а (33)2=272=729).
Например, существует 3(30) = 3 нульарных троичных логических функций — константы 0, 1 и 2; 3(31) = 27 унарных троичных логических функций и т. д.
Троичные логические функции (классификация)
Нульарные троичные логические функции (операции, элементы)
Нульарные троичные логические операции (функции) с унарным выходом
Всего существуют
простейшие нульарные троичные функции (троичные константы).
В троичной несимметричной системе счисления:
Таблица 1.название обозначение 0 логический тождественный ноль 0 1 логическая тождественная единица 1 2 логическая тождественная двойка 2 В троичной симметричной системе счисления:
Таблица 2.название обозначение i тождественная минус единица i 0 тождественный ноль 0 1 тождественная плюс единица 1 Унарные троичные логические функции
Унарные троичные однозначные логические функции
Всего существует
, где m - число выходов (значность) функции, простейших унарных (одноместных) троичных функций. Для однозначных (с одним выходом) унарных (с одним входом) троичных функций m=1 и их число равно 
.
Количество простейших унарных троичных функций равно числу размещений с повторениями (выборок с возвращением) при k=n=3:Так как возможны более сложные функции дающие при подаче на вход одного трита тот же результат, что и простейшие унарные троичные функции, то число более сложных троичных функций с нижеприведёнными результатами от одного трита теоретически бесконечно.
Таблица 1. Результаты действия простейших унарных троичных функций при подаче на вход трёх значений троичного разряда: 0, 1 и 2.
В несимметричной троичной системе {0,1,2}:
Таблица 3.x 2 1 0 название обозначение 0 0 0 0 переходник в 0, тождественный ноль F000(X) = 0 1 0 0 1 переходник в двоичную F001(X) 2 0 0 2 переходник в двоичную F002(X) 3 0 1 0 переходник в двоичную F010(X) 4 0 1 1 переходник в двоичную F011(X) 5 0 1 2 обмен около единицы, инвертор Лукасевича, Invert по Стиву Граббу[1] F012(X)=НЕ1(x) = NOT1(X) = NOTL(Х) = SWAP0/2(X)=Complement(F210)[2]=x[3] 6 0 2 0 переходник в двоичную F020(X) 7 0 2 1 сдвиг циклический (поворот, вращение) вперёд на 1 (1/3 оборота), Rotate Up Стива Грабба[4] F021(X)=СДВИГ1В(X) = ROT1F(x) = ROT1U(x) = SHIFT1F(X) 8 0 2 2 переходник в двоичную F022(X)=F220[5] 9 1 0 0 переходник в двоичную, Shift Down Стива Грабба[6] F100(X) 10 1 0 1 переходник в двоичную F101(X) 11 1 0 2 сдвиг циклический (поворот, вращение) назад на 1 (1/3 оборота), Rotate Down Стива Грабба[7] F102(X)=СДВИГ1Н(X) = ROT1B(x) = ROT1D(x) = SHIFT1B(x) 12 1 1 0 переходник в двоичную F110(X) 13 1 1 1 переходник в 1, тождественная единица F111(X) = 1 14 1 1 2 переходник в двоичную F112(X)=F211[8] 15 1 2 0 обмен около нуля F120(X)=НЕ0(x) = NOT0(Х) = SWAP1/2(X) 16 1 2 1 переходник в двоичную F121(X) 17 1 2 2 переходник в двоичную F122(X)=F221[9] 18 2 0 0 переходник в двоичную F200(X) 19 2 0 1 обмен около двойки F201(X)=НЕ2(x) = NOT2(Х) = SWAP0/1 20 2 0 2 переходник в двоичную F202(X) 21 2 1 0 сдвиг нулевой, повторитель, логическое «ДА», линия задержки, тождественная функция F210(X)=ДА(x) = СДВИГ0(x) = x 22 2 1 1 переходник в двоичную F211(X) 23 2 1 2 переходник в двоичную F212(X) 24 2 2 0 переходник в двоичную F220(X) 25 2 2 1 переходник в двоичную, Shift Up Стива Грабба[10] F221(X) 26 2 2 2 переходник в 2, тождественная двойка F222(X) = 2 Любую унарную троичную функцию можно выразить (построить) используя две другие унарные базисные троичные функции, одна из которых — любой из двух циклических сдвигов (полных инверсий), а другая — любой из трёх обменов (неполных инверсий). Эти пары функций образуют множество из шести унарных троичных базисов. Любой из трёх обменов производит переход от одного из двух вращений к противоположному вращению. Любой из двух сдвигов обеспечивает вращение в одном из двух направлений (левом и правом) на 1/3 оборота (2π/3, 120°), на 2/3 оборота (2*2π/3, 240°) и на 3/3 оборота (2*π, 360°).
- СДВИГВ, НЕ0 (2 элемента)
- СДВИГВ, НЕ+1 (2 элемента)
- СДВИГВ, НЕ-1 (2 элемента)
- СДВИГН, НЕ0 (2 элемента)
- СДВИГН, НЕ+1 (2 элемента)
- СДВИГН, НЕ-1 (2 элемента)
Все 27 унарных троичных операций (функций) выполняются троичным унарным с унарным выходом АЛУ (1Трит-1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе Atanua приведён на рисунке справа, и записываются в троичный триггер с соответствующей логикой управления.
Обозначения
Для обозначения унарных троичных функций достаточно любых трёх троичных знаков (33=27), 4/3 девятеричного знака (9(4/3)=27) или одного двадцатисемеричного знака, следовательно, так как возможно бесконечное количество таких знаков, возможно бесконечное множество обозначений унарных троичных функций. Из этого множества обозначений числовые обозначения по результатам действия функций являются естественными обозначениями.
Цифровые обозначения могут быть постфиксными надстрочными, строчными и подстрочными и префиксными надстрочными, строчными и подстрочными, при этом для надстрочных и подстрочных обозначений нужно набирать пять знаков для открывающих и шесть знаков для закрывающих скобок, поэтому проще цифровые строчные обозначения с обычными скобками.
Grabb[12] использует для обозначения шесть знаков: ∪, ∩, ↘, ↗, A, A, из которых 5 труднонабираемы на клавиатуре. Шесть знаков могут выразить до 62=36 функций, тем не менее Grabb использует для обозначения −7, −3, 3 и 7 функций четыре знака, что относительно избыточно (64=1296).
Mouftah использует для обозначения 16 знаков: ¬, ¬, ⌐, ⌐, ┘, ┘, └, └, ⊼, ⊽, 0, +, (,), A, A, из которых 11 труднонабираемы на клавиатуре. Два шестнадцатеричных знака могут выразить до 112=256 функций, тем не менее для −6 и −2 функций Mouftah использует 11 знаков, что относительно избыточно (1611=17592186044416).
Yoeli обозначает положительные декодеры −1, 0 и +1 с двумя и тремя труднонабираемыми на клавиатуре надстрочными индексами, при этом не описываются положительные декодеры с двумя 0, нулевые декодеры с двумя 1 и с двумя −1, отрицательные декодеры с двумя 0 и с двумя 1.
В симметричной троичной системе:
Таблица 4.x 1 0 i название обозначение F#[13] Grubb Mouftah Название по Mouftah/Yoeli [13] Diff:101 -13 i i i переходник в -1, тождественная минус единица F777(X) = -1 111 always output 1 -12 i i 0 переходник в двоичную F770(X) ii0 ↘A = Shift Down ¬┘A -11 i i 1 переходник в двоичную, детектор -1 с true=1 false=-1 F771(X) ii1 ∩↗A └┘A = ┘A = ┘A = ┘┘A x1 (Yoeli), decode-1 -10 i 0 i переходник в двоичную, замена 1 на -1 F707(X) i0i ↘∩A -9 i 0 0 переходник в двоичную F700(X) i00 ↘↗A ⌐A Reverse Diode -8 i 0 1 обмен около 0, инверсия Лукасевича F701(X) = NOT0(X)= NOTL(X) = INVL(X) 101 swap1/1,
invert
AA Simple Ternary Inverter \'/ -7 i 1 i переходник в двоичную, детектор 0 с true=1 false=-1 F717(X) i1i ∩↗∪A ┘(A + A) x0 (Yoeli), decode-0 -6 i 1 0 сдвиг циклический вперёд на 1 (1/3 оборота, +120°) F710(X)=ROT1F(X) = ROT1U(X) = SHIFT1F(X) 011 rotate up,
∩A(└A ⊼ 0)⊼(┘A) — inverse cycling gate cycle up /// -5 i 1 1 переходник в двоичную, инверсия Лукасевича от детектора +1 F711(X) i11 ∪↘A ┘└A = ┘A = └└A -4 0 i i переходник в двоичную F077(X) 0ii ↘A ⌐└A Earthed Negative Ternary Inverter -3 0 i 0 переходник в двоичную F070(X) 0i0 ∪↗∪A -2 0 i 1 сдвиг циклический назад на 1 (1/3 оборота, −120°) F071(X)=ROT1B(x) = ROT1D(X) = SHIFT1B(X) 110 rotate down,
∪A(┘A ⊽ 0)⊽(└A) — cycling gate cycle down \\\ -1 0 0 i переходник в двоичную, замена +1 на 0 F007(X) 00i ∪↗A ⌐└A = ⌐A 0 0 0 0 переходник в 0, тождественный ноль F000(X) = 0 000 always output 0 +1 0 0 1 переходник в двоичную F001(X) 001 ↗↘A ¬A Forward Diode +2 0 1 i обмен около −1 F017(X)=NOT-1(X) 110 swap 0/1 swap 0/1 '/\ +3 0 1 0 переходник в двоичную F010(X) 010 ∩↘∩A +4 0 1 1 переходник в двоичную F011(X) 011 ↗A = Shift Up ⌐└A +5 1 i i переходник в двоичную, детектор 1 с true=1 false=-1 F177(X) 1ii ∩↗A └A Negative Ternary Inverter (Mouftah), xi (Yoeli), decode-i +6 1 i 0 обмен около +1 F170(X)=NOT+1(x) 011 swap 1/0 swap 1/0 /\' +7 1 i 1 переходник в двоичную, инверсия Лукасевича от детектора 0 F171(X) 1i1 ∪↘∩A +8 1 0 i сдвиг нулевой, повторитель, логическое «ДА», тождественная функция, линия задержки, знак числа F107(X)=Sgn(X) 101 Buffer
AA Buffer +9 1 0 0 переходник в двоичную F100(X) 100 ∩↘A ¬A +10 1 0 1 переходник в двоичную F101(X) 101 ↗∪A +11 1 1 i переходник в двоичную, инверсия Лукасевича от детектора -1 F117(X) 11i ∪↘A ┘A Positive Ternary Inverter +12 1 1 0 переходник в двоичную F110(X) 110 ↗A ¬┘A Earthed Positive Ternary Inverter +13 1 1 1 переходник в +1, тождественная плюс единица F111(X) = 1 111 always output 1 Знаки "i" и "7" обозначают "-1".
При замене знака i на знак 2 получается таблица унарных троичных функций в несимметричной троичной системе {2,0,1} (соответствие 2.).Троичная логическая тождественная функция
Троичный логический повторитель. Является простейшей линией задержки.
Инверсии
Инверсии и неполные обмены
В троичной логике неполные обмены и инверсии совпадают. В четверичной логике два единичных дигональных обмена и два парных недиагональных обмена являются инверсиями, остальные неполные обмены инверсиями не являются. В пятеричной логике для инверсии необходимы два парных обмена в которых в сумме участвуют значения четырёх вершин. В шестеричной логике для инверсии необходимы два парных обмена или три парных обмена. В семеричной логике для инверсии необходимы три парных обмена в которых в сумме участвуют значения шести вершин. В N-ичной логике для инверсии в обмене участвуют значения N-1 вершины. В нечётных логиках по отношению к одной вершине возможна одна инверсия. В чётных логиках по отношению к одной вершине возможны две инверсии: диагональная и перпендикулярная.
Инверсии (неполные обмены) в троичной логике
Троичные инвесии (перевороты, отрицания, неполные троичные обмены) — унарные операции, меняющие местами два из трёх логических состояний.
В троичной логике возможны три инверсии[14]:
— инверсия около нуля, НЕ0, (NOT0, NOTL), обмен −1 и +1 (SWAP-1/+1),
— инверсия около −1, НЕ-1, (NOT-), обмен 0 и +1 (SWAP0/+1),
— инверсия около +1, НЕ+1, (NOT+), обмен −1 и 0 (SWAP-1/+1).NOT- = ROTB(NOT0)
NOT+ = ROTF(NOT0)
NOT+ = ROTB(NOT-)Традиционная инверсия (неполный обмен SWAP-1/+1), (двоичное, так называемое обращение или дополнение) неполное отрицание, не влияющее на состояние «неизвестно», в троичной логике называют отрицанием Лукасевича и обозначают как ~Lx (NLx, ¬Lx, x’L, NOTL или NOT0). Функция инверсии (отрицания) Лукасевича входит в логику Клини. В симметричной троичной системе счисления Фибоначчи такое отрицание просто изменяет «знак» троичного разряда, в несимметричной троичной системе счисления знак троичного разряда не изменяется.
Граф переходов в операции отрицания (инверсии) Лукасевича — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 1 к −1 и обратно. Операция линейная, одномерная, из линии в плоскость не выходит.
Кроме традиционной инверсии Лукасевича, выделяют ещё две операции инверсии, которые обозначают как NOT-1, NOT- и NOT+1, NOT+. Первая сохраняет неизменным состояние −1 («ложь»), а вторая сохраняет +1 («истина»), при этом операции по-разному действуют на состояние 0 («неизвестно»):
в несимметричной троичной системе счисления с соответствием {-1,0,+1} — {0,1,2}:
Таблица 5.x 2 1 0 НЕ1, NOT0 0 1 2 НЕ0, NOT−1 1 2 0 НЕ2, NOT+1 2 0 1 в несимметричной троичной системе счисления с соответствием {-1,0,+1} — {2,0,1}:
x 2 1 0 НЕ0, NOT0 1 2 0 НЕ2, NOT-1 2 0 1 НЕ1, NOT+1 0 1 2 так как возможны шесть соответствий троичной симметричной системы счисления и троичной несимметричной системы счисления:
Таблица соответствия троичной несимметричной системы и троичной симметричной системы:1. 2. 3. 4. 5. 6. 1 2 1 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 0 то в несимметричной троичной системе счисления с другими соответствиями троичной симметричной системе счисления таблицы функций NOT0, NOT- и NOT+ будут другими;
в симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:x 1 0 1 НЕ0, NOT0 1 0 1 НЕ-1, NOT−1 0 1 1 НЕ+1, NOT+1 1 1 0 Граф операции (NOT-1, NOT-) — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к 1 и обратно.
Граф операции (NOT+1, NOT+) — одно ребро треугольника с двухсторонними переходами от 0 к −1 и обратно.
Так как возможны два вида вращения (левое и правое), то закон двойного отрицания справедлив для всех многозначных логик. Для всех трёх инверсий (отрицаний) Лукасевича, как и в двоичной логике, справедливы уравнения:
NOT0(NOT0(X))=X
NOT+(NOT+(X))=X
NOT-(NOT-(X))=X
.Циклические сдвиги
Сдвиги и инверсии
В двоичной логике сдвиги и инверсии совпадают и выражаются одной операцией сдвига на 180° или инверсии — NOT(X). В троичной и более значных логиках сдвиги и инверсии являются разными функциями. Сдвиги не меняют направления вращения. Операцию (функцию) сдвига выполняют регистры сдвига. Инверсии (отрицания) меняют (переворачивают) направление возрастания значений при правом (по часовой стрелке) обходе вершин графа. Операцию (функцию) инверсии (переворота) выполняют только триггеры.
В многозначных логиках
В троичной логике существует закон тройного сдвига:
SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(X))) = X,
SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(X))) = X.В четверичной логике существует закон четверного сдвига:
SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(X)))) = X,
SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(X)))) = X.В пятеричной логике существует закон пятерного сдвига:
SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(SHIFT1F(X))))) = X,
SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(SHIFT1B(X))))) = X.…
В N-ичной логике существует закон N-ного сдвига:
N сдвигов вперёд равносильны повторению (утверждению),
N отрицаний (сдвигов) назад равносильны повторению (утверждению).В (N+1)-ичной логике существует закон (N+1)-ного сдвига:
(N+1) сдвигов вперёд равносильны повторению (утверждению),
(N+1) сдвигов назад равносильны повторению (утверждению).…
Обобщение:
В N-ичной плоской логике плоская логическая окружность делится на N частей, при этом N единичных сдвигов по плоской логической окружности приводят в исходную точку.В объёмных логиках место окружности занимают многомерные (в простейшем случае трёхмерные) сферы.
Сдвиги в троичной логике
Логические циклические сдвиги (отрицания, инверсии, вращения, полные обмены) вперёд и назад (вращение вверх и вращение вниз)[14].
Так как в троичном триггере (разряде, позиции) возможны переключения из любого из трёх состояний в любое из двух оставшихся состояний, то эти переключения нужно описать логическими функциями.Если рассмотреть многовершинные графы, то в них возможны циклические сдвиги на 1 вперёд и назад и инверсии (перевороты).
Сдвиги не являются инверсиями и отличаются от функции инверсии (отрицания Лукасевича и от двух операций инверсии — NOT− и NOT+. Они более просты, ближе к логике работы троичного триггера и более полно описывают возможные переходы (переключения) в троичном триггере. В проекте Стива Грабба эти функции называются вращение вверх (ROTU) и вращение вниз (ROTD).
В троичной несимметричной системе {0,1,2}:x 2 1 0 SHIFT1F, ROT1F, ROT1U 0 2 1 SHIFT1B, ROT1B, ROT1D 1 0 2 или в троичной симметричной системе {-1,0,+1}:
x 1 0 1 SHIFT1F, ROT1F, ROT1U 1 1 0 SHIFT1B, ROT1B, ROT1D 0 1 1 Графы операций логических циклических сдвигов (вращений) вперёд и назад (вращение вверх и вращение вниз) — треугольники с односторонними переходами вправо (по часовой стрелке) или влево (против часовой стрелки).
Для обеих функций справедливы уравнения:
Rot1F(Rot1F(Rot1F(x)))=x,
Rot1B(Rot1B(Rot1B(x)))=x,
которые являются законом тройного сдвига, который не является подобием закона двойного отрицания: три троичных сдвига равносильны утверждению.Справедливы также следующие уравнения:
Rot1B(Rot1F(x))=x,
Rot1F(Rot1B(x))=xСдвиг на 2 равен двум сдвигам на 1:
SHIFTF2(x)=SHIFTF1(SHIFTF1(x))
SHIFTB2(x)=SHIFTB1(SHIFTB1(x))
это уравнение справедливо и в более чем трёхзначных логиках.Только в троичной логике сдвиг в одну сторону на 2 равен сдвигу на 1 в другую сторону:
SHIFTF2(x)=SHIFTB1(x)
SHIFTB2(x)=SHIFTF1(x)
в более чем трёхзначных логиках этому свойству соответствуют другие подобные свойства.Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным результатом (выходом)
Всего существует
простейших унарных троичных функций с бинарным выходом.К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с бинарным (двухразрядным) (результатом) выходом.
Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с тринарным результатом (выходом)
Всего существует
простейших унарных троичных функций с тринарным выходом.К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с тринарным (трёхразрядным) результатом (выходом).
Троичный дешифратор «1 трит в 3 строки»
Можно рассматривать как объединение трёх унарных троичных функций с унарными результатами из таблицы 1.
x0=x 2 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 Унарные троичные логические функции (операции, элементы) с m-арными выходами
Всего существует
простейших унарных троичных функций с m-арным выходом, то есть бесконечное число.К этим функциям относятся демультиплексоры и дешифраторы с m-арным (m-разрядным) результатом (выходом).
Бинарные троичные логические функции (операции, элементы)
Бинарные троичные логические функции с унарным результатом
Всего возможно
простейших бинарных (двуместных) троичных функций, некоторые из них приведены в таблице (функции в троичной симметричной системе счисления приведены в системе обозначений {-1,0,+1} = {0,1,2}):
Таблица 5.x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 Название действия (функции) Обозначение f(x,y) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Тождественный ноль 0(x,y) = 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 Детектор (x-y)=2, true=2, false=0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 CGOR[15] 0 0 0 0 2 2 0 2 1 Функция Вебба Webb(x,y) 0 0 0 2 0 0 0 2 0 Детектор (x-y)=1, true=2, false=0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 Детектор x>y, true=2, false=0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Детектор x-y=-2, true=2, false=0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 Mean Function Стива Грабба[16] x→y[17] 0 1 2 1 1 2 2 2 2 CGAND[18] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 Детектор x-y=-1, true=2, false=0 0 2 1 0 2 1 0 2 1 циклический сдвиг вперёд на 1 (1/3 оборота) только одного второго аргумента (операнда) СДВИГ1В(X,Y) = СДВИГ1В(Х) = SHIFT1F(X,Y) = SHIFTF(X) 0 2 1 2 1 0 1 0 2 Младший разряд суммы (разности) в троичной симметричной системе счисления в соответствии
{-1,0,+1}={0,1,2}, sum3s(x,y)0 2 2 0 0 2 0 0 0 Детектор x<y, true=2, false=0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 Детектор x≠y, true=2, false=0 1 0 0 2 1 0 2 2 1 Magnitude Function Стива Грабба[19] 1 0 2 0 2 1 2 1 0 Сложение по модулю 3 в несимметричной системе и в симметричной системе с соответствием {0,1,-1}={0,1,2} или {-1,0,+1}={2,0,1}, summod3ns(x,y) 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной системе carry3n(x,y) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Тождественная единица 1(x,y) = 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 Разряд переноса при бинарном сложении в троичной симметричной системе счисления с соответствием {0,1,-1}={0,1,2} или {-1,0,+1}={2,0,1} carry3s(x,y) 2 0 0 0 2 0 0 0 2 Детектор x=y, true=2, false=0 2 0 0 2 2 0 2 2 2 Детектор x>=y, true=2, false=0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 Меньшее из двух, минимум, Min Function Стива Грабба[20] min(x, y)=x↓y[21] 2 1 0 2 1 0 2 1 0 повтор только второго аргумента (операнда) ДА1(x,y) = YES1(x,y) = x 2 1 0 1 1 1 1 1 2 Троичная функция следования Брусенцова 2 1 1 1 1 1 1 1 0 Разряд переноса при бинарном сложении-вычитании в симметричной троичной системе в соответствии {-1,0,+1}={0,1,2} carry3s(x,y) 2 2 2 1 1 1 0 0 0 повтор только первого аргумента (операнда) ДА2(x,y) = YES2(x,y) = y 2 1 0 2 1 1 2 2 2 Импликация материальная 2 1 0 2 2 0 2 2 2 Импликация Гейтинга 2 1 0 2 2 1 2 2 2 Импликация Лукасевича 2 2 2 2 1 1 2 1 0 Большее из двух, максимум, Max Function Стива Грабба[22] max(x, y)=x↑y[23] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Тождественная двойка 2(x,y) = 2 
Снимок модели троичного бинарного с унарным выходом АЛУ в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов в логическом симуляторе Atanua[11]
Все 19 683 простейшие троичные бинарные функции выполняются троичным АЛУ (2Трита в 1Трит) в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, снимок модели которого в логическом симуляторе Atanua приведён на рисунке справа.
Таблица 6.x1=x 1 1 1 0 0 0 i i i x0=y 1 0 i 1 0 i 1 0 i Название действия (функции) Обозначение i i i i i i i i i Тождественный ноль F777777777=F-9841(x,y) = 0 i i i i 1 1 i 1 0 Функция Вебба F777711770=F-9618=Webb(x,y) 7 0 0 1 7 0 1 1 7 F700170117=F-6388 i 1 0 i 1 0 i 1 0 циклический сдвиг вперёд на 1/3 оборота только одного второго аргумента (операнда) F710710710=F-4542=СДВИГВ(X,Y) = СДВИГВ(Х) = SHIFTF(X,Y) = SHIFTF(X) i 1 0 1 0 i 0 i 1 Младший разряд суммы (разности) при сложении в троичной симметричной системе счисления, sum3s(x,y) F710107071=F-4160 7 1 1 0 7 1 0 0 7 F711071007=F-3700 i 1 1 1 i 1 1 1 i (x≠y, notL(x=y), детектор x≠y) с true=+1 и false=-1 F711171117=F-3445 0 i i 1 0 i 1 1 0 sign(y-x), Magnitude Function Стива Грабба[24] F077107110=F-2688=sign(y-x) 0 i 1 i 1 0 1 0 i Сложение по модулю 3 в несимметричной системе, summod3n(x,y) F071710107=F-1612 0 0 i 0 i i i i i Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной системе F007077777=F-850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Тождественный ноль F000000000=F0(x,y) = 0 0 1 1 i 0 1 i i 0 notL(sign(y-x)), инверсия Лукасевича от Magnitude Function Стива Грабба F011701770=F2688 1 7 7 0 1 7 0 0 1 F177017001=F3700 1 7 7 1 1 7 1 1 1 (x<y, notL(x>y)) с true=+1 и false=-1 F177117111=F3955 1 0 i 0 0 i i i i Меньшее из двух, минимум F107007777=F5792=min(x,y) 1 0 i 0 0 0 0 0 1 Троичная функция следования Брусенцова F107000001=F5833 1 0 i 1 0 i 1 0 i повтор только второго аргумента (операнда) F107107107=F6056=ДА1(x,y) = YES1(x,y) = x 1 0 i 1 0 0 1 1 1 Импликация материальная F107100111=F6088 1 0 i 1 1 i 1 1 1 Импликация Гейтинга F107117111=F6142 1 0 i 1 1 0 1 1 1 Импликация Лукасевича F107110111=F6169 1 0 0 7 1 0 7 7 1 F100710771=F6388 1 0 0 0 0 0 0 0 i Разряд переноса при бинарном сложении в симметричной троичной системе F100000007=F6560 1 1 1 7 1 1 7 7 1 (x>y, notL(x-y)) с true=+1 и false=-1 F111711771=F9331 1 1 1 0 0 0 i i i повтор только первого аргумента (операнда) F111000777=F9464=ДА2(x,y) = YES2(x,y) = y 1 1 1 1 0 0 1 0 i Большее из двух, максимум F111100107=F9728=max(x,y) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Тождественная единица F111111111=F9841(x,y) = 1 "i" и "7" означают "-1"
Логическое больше
Результат изменяется при перемене мест операндов.
Истинно=1, ложно=0x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x>y 0 1 1 0 0 1 0 0 0 Истинно=2, ложно=0
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x>y 0 2 2 0 0 2 0 0 0 Логическое меньше
Результат изменяется при перемене мест операндов.
Истинно=1, ложно=0x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x<y 0 0 0 1 0 0 1 1 0 Истинно=2, ложно=0
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x<y 0 0 0 2 0 0 2 2 0 Логическое равенство в троичной логике Лукасевича
Вычисляется eqv(x,y); x eqv y;
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
В несимметричной троичной системе счисления:
Истинно=1, ложно=0x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x=y 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Истинно=2, ложно=0
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x=y 2 0 0 0 2 0 0 0 2 или
x ^ | 2 | 0 0 2 1 | 0 2 0 0 | 2 0 0 ---+----------> y | 0 1 2
или в виде тринарной матрицы
в симметричной троичной системе счисления:x1=x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 x0=y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 x=y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F+---+---+s3(x,y)=F3445s3(x,y)
илиx ^ | 1 | 1 1 1 0 | 1 1 1 1 | 1 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
Цифровой компаратор
Magnitude Function Стива Грабба[25]
С однозначным результатом[26]:x1=x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 x0=y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 sign(y-x) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 F2688s3(x,y)
x ^ | 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 1 | 0 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
С трёхзначным результатом:
Сравнивает два кода и имеет трёхзначный выход: меньше, равно, больше. Является объединением трёх предыдущих отдельных троичных бинарных функций.
Результат изменяется при перемене мест операндов.
true=2, false=0x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-й операнд x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-й операнд x<y 0 0 0 2 0 0 2 2 0 x=y 2 0 0 0 2 0 0 0 2 x>y 0 2 2 0 0 2 0 0 0 Минимум (наименьшее ИЛИ)
Входит в логику Клини.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется min(x,y).
В двоичной логике функции min(x,y) соответствует конъюнкция: x ∧ y, x И y, 2И.
В троичной несимметричной системе счисления:x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 min(x,y) 2 1 0 1 1 0 0 0 0 или
x ^ | 2 | 0 1 2 1 | 0 1 1 0 | 0 0 0 ---+----------> y | 0 1 2
в троичной симметричной системе счисления:
x1=x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 x0=y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 min(x,y) 1 0 1 0 0 1 1 1 1 F+0-00----s3(x, y)=F5792s3(x,y)
илиx ^ | 1 | 1 0 1 0 | 1 0 0 1 | 1 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
Максимум (наибольшее ИЛИ)
Входит в логику Клини.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется max(x, y).
В двоичной логике функции max(x, y) соответствует дизъюнкция: x ∨ y, x ИЛИ y, 2ИЛИ.
В несимметричной троичной системе счисления:x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 max(x,y) 2 2 2 2 1 1 2 1 0 или
x ^ | 2 | 2 2 2 1 | 1 1 2 0 | 0 1 2 ---+----------> y | 0 1 2
или в виде тринарной матрицы
в симметричной троичной системе счисления:x1=x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 x0=y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 max(x,y) 1 1 1 1 0 0 1 0 1 F++++00+0-s3(x, y)=F9728s3(x, y)
илиx ^ | 1 | 1 1 1 0 | 0 0 1 1 | 1 0 1 ---+----------> y | 1 0 1
Бинарное сложение в несимметричной троичной системе счисления
Результат не изменяется при перемене мест аргументов
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 n+1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 ⊕3(x,y) 1 0 2 0 2 1 2 1 0 Сложение по модулю 3 в несимметричной троичной системе счисления
Аналог сложения по модулю 2. Название «исключающее ИЛИ» («XOR»), применяемое для «двоичного сложения по модулю 2», для «троичного сложения по модулю 3» неприемлемо, то есть оказалось поверхностным, не глубоким.
Результат не изменяется при перемене мест аргументов (операндов, входов).
Вычисляется сумма по модулю 3: x ⊕3n yx1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 ⊕3n(x,y) 1 0 2 0 2 1 2 1 0 или
x ^ | 2 | 2 0 1 1 | 1 2 0 0 | 0 1 2 ---+----------> y | 0 1 2
или в виде тринарной матрицы
или⊕3n | 0 1 2 ----+---------- 0 | 0 1 2 1 | 1 2 0 2 | 2 0 1
или в виде тринарной матрицы
Сложение по модулю три напоминает двоичный XOR. Это обычное сложение, только без переноса: в случае переполнения разрядной сетки оно сохраняет лишь младший троичный разряд. Как и двоичный XOR, сложение по модулю три либо оставляет троичный разряд неизменным, либо изменяет его (производит операции INC/DEC, в зависимости от знака соответствующего троичного разряда).Эта функция может быть полезна для реализации троичных несимметричных полусумматора и сумматора.
Разряд переноса при бинарном сложении в несимметричной троичной системе счисления
Результат не изменяется при перемене мест аргументов
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 n+1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 или в виде тринарной матрицы
Бинарное сложение (вычитание) в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи
В отличие от сложения в несимметричной системе счисления, в которой младший разряд (трит) суммы является функцией "сложение по модулю 3", при сложении (вычитании) в троичной симметричной системе счисления младший разряд (трит) суммы (разности) является не функцией "сложение по модулю 3", а другой троичной функцией, в которой младший разряд (трит) 1+1 равен не 2, а -1.
x1=x 1 1 1 0 0 0 i i i x0=y 1 0 i 1 0 i 1 0 i старший разряд (трит) суммы (разности), трит переноса в n+1 разряд (трит) 1 0 0 0 0 0 0 0 i младший разряд (трит) суммы (разности)(x,y) i 1 0 1 0 i 0 i 1 Калька в троичной несимметричной системе счисления:
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 старший разряд (трит) суммы (разности), трит переноса в n+1 разряд (трит) 2 1 1 1 1 1 1 1 0 младший разряд (трит) суммы (разности)(x,y) 0 2 1 2 1 0 1 0 2 Младший разряд (трит) суммы (разности) в симметричной троичной системе счисления
x1=x 1 1 1 0 0 0 i i i x0=y 1 0 i 1 0 i 1 0 i младший разряд (трит) суммы (разности)(x,y) i 1 0 1 0 i 0 i 1 F-4160s3(x,y)
x ^ | 1 | 0 1 1 0 | 1 0 1 1 | 1 1 0 --+----------> y | 1 0 1
или
| -1 0 +1 ---+---------- -1 | +1 -1 0 0 | -1 0 +1 +1 | 0 +1 -1
Калька в троичной несимметричной системе счисления:
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 младший разряд (трит) суммы (разности)(x,y) 0 2 1 2 1 0 1 0 2 Разряд переноса при бинарном сложении в симметричной троичной системе счисления
x1=x 1 1 1 0 0 0 i i i x0=y 1 0 i 1 0 i 1 0 i n+1 1 0 0 0 0 0 0 0 i Калька в троичной несимметричной системе счисления:
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 n+1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 Импликации
Импликация (от лат. implicatio — сплетение, implico — тесно связываю) — логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если …, то …», с помощью которой из двух простых высказываний образуется сложное высказывание. В импликативном высказывании различают антецедент (основание) — высказывание, идущее после слова «если», и консеквент (следствие) — высказывание, идущее за словом «то». Импликативное высказывание представляет в языке логики условное высказывание обычного языка. Последнее играет особую роль как в повседневных, так и в научных рассуждениях, основной его функцией является обоснование одного путём ссылки на нечто другое. В современной логике имеется большое число импликаций, различающихся своими формальными свойствами:
- Троичная функция следования Брусенцова
- импликация материальная
- импликация Гейтинга
- импликация Лукасевича
Троичная функция следования Брусенцова
Вычисляется
:
При перемене мест операндов результат изменяется.
в симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {1,0,1}:x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1-е высказывание y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2-е высказывание 1 0 1 0 0 0 0 0 1 следование Брусенцова F+0-00000+s3(x, y)=F5833s3(x, y)
илиx ^ | 1 | 1 0 1 0 | 0 0 0 1 | 1 0 0 ---+----------> y | 1 0 1
в симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {0,1,2}:
x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е высказывание y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е высказывание 2 1 0 1 1 1 1 1 2 следование Брусенцова в симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {2,0,1}:
x 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1-е высказывание y 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2-е высказывание 1 0 2 0 0 0 0 0 1 следование Брусенцова Импликация материальная
Материальная импликация — одна из основных связок классической логики. Определяется она таким образом: импликация ложна только в случае истинности основания (антецедента) и ложности следствия (консеквента), а истинна во всех остальных случаях. Условное высказывание «если x, то y» предполагает некоторую реальную связь между тем, о чём говорится в x и y; выражение «x материально имплицирует y» такой связи не предполагает.
Вычисляется импликация материальная max(−x, y);
; x' ∨ y :
При перемене мест операндов результат изменяется.в симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {1,0,1}:
x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1-е высказывание y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2-е высказывание 1 0 1 1 0 0 1 1 1 Импликация материальная или
x ^ | 1 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1 | 1 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
в симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {0,1,2}:
x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е высказывание y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е высказывание 2 1 0 2 1 1 2 2 2 Импликация материальная Импликация Гейтинга
Это часть многозначной логики. Логика Гейтинга охватывала лишь часть классической формальной логики.
Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически даёт построение q. Например, из истинности высказывания p следует «неверно, что p ложно». Но из утверждения «неверно, что p ложно» ещё не следует, что p — истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным.
При перемене мест операндов результат изменяется.
В симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {1,0,1}:x ^ | 1 | 1 0 1 0 | 1 1 1 1 | 1 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1-е высказывание y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2-е высказывание 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Импликация Гейтинга В симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {0,1,2}:
x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е высказывание y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е высказывание 2 1 0 2 2 0 2 2 2 Импликация Гейтинга Импликация Лукасевича
[27][28] Это часть модальной логики.
При перемене мест операндов результат изменяется.
В симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {1,0,1}:x ^ | 1 | 1 0 1 0 | 0 1 1 1 | 1 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1-е высказывание y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2-е высказывание 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Импликация Лукасевича В симметричной троичной системе счисления с обозначениями {-1,0,+1} = {0,1,2}:
x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е высказывание y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е высказывание 2 1 0 2 2 1 2 2 2 Импликация Лукасевича Логическое сложение по модулю 3 при одном неполном слагаемом
Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x1=x 1 1 1 0 0 0 1-е слагаемое x0=y 2 1 0 2 1 0 2-е слагаемое 0 2 1 2 1 0 Сумма по модулю 3 или в виде тринарной матрицы
Разряд переноса при сложении с неполным слагаемым
Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x1=x 1 1 1 0 0 0 1-е слагаемое x0=y 2 1 0 2 1 0 2-е слагаемое 1 0 0 0 0 0 Перенос в n+1 или в виде тринарной матрицы
Функция Вебба
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Вычисляется Webb(x, y) = x | y = ROTF(x ∨ y) = RotF(max(x, y)) = Inc(max(x, y)):
в несимметричной троичной системе счисления {0,1,2}:x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 Webb(x,y) 0 0 0 0 2 2 0 2 1 или
x ^ | 2 | 0 0 0 1 | 2 2 0 0 | 1 2 0 ---+----------> y | 0 1 2
или в виде тринарной матрицы
в симметричной троичной системе счисления {-1,0,+1}:x ^ | 1 | 1 1 1 0 | 1 1 1 1 | 0 1 1 ---+----------> y | 1 0 1
x1=x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1-е высказывание x0=y 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2-е высказывание 1 1 1 1 1 1 1 1 0 функция Вебба Функция Вебба интересна тем, что с помощью неё, подобно штриху Шеффера и стрелке Пирса в двухзначной логике, можно выразить любые трёхзначные функции:
Одноместные:
- RotF(X) = X | X
- RotB(X) = RotF(RotF(X), RotF(X)) = (X | X) | (X | X)
- NOT(X) = (RotB(X) | RotF(X) | RotF(RotB(X) | X))
Двухместные:
- X ∨ Y = RotB(X | Y).
- X ∧ Y = Not(Not(X) ∨ Not(Y))
Вполне возможно, что именно логическим элементам, реализующим функцию Вебба, придётся сыграть роль троичных ЛА3’их (ИС SN7400, 4 логических элемента 2И-НЕ[29]). И от качества реализации этой функции, количества транзисторов будет зависеть эффективность будущих троичных процессоров.
Впрочем, функция ROTB(X ∨ Y) (а возможно, что и ROTF(X ∧ Y), ROTB(X ∧ Y)) ничем не хуже. Вопрос лишь в том, какую из них мы сможем реализовать наиболее эффективно.
Бинарные функционально полные логические базисы в троичной симметричной системе {-1,0,+1}:
- MAX, СДВИГВ, НЕ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГВ, НЕ+1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГВ, НЕ-1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГВ, НЕ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГВ, НЕ+1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГВ, НЕ-1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГН, НЕ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГН, НЕ+1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГН, НЕ-1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГН, НЕ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГН, НЕ+1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГН, НЕ-1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
Бинарные функционально полные логические базисы в троичных несимметричных системах {2,0,1} и {0,1,2}:
- MAX, СДВИГВ, НЕ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГВ, НЕ1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГВ, НЕ2 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГВ, НЕ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГВ, НЕ1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГВ, НЕ2 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГН, НЕ0 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГН, НЕ1 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MAX, СДВИГН, НЕ2 (3 элемента), подобно 2ИЛИ-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГН, НЕ0 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГН, НЕ1 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
- MIN, СДВИГН, НЕ2 (3 элемента), подобно 2И-НЕ в двоичной логике
Бинарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным выходом
Всего возможно
простейших бинарных с бинарным выходом троичных функций (2Трита-2Трита).Все 387 420 489 простейших троичных бинарных с бинарным выходом функций выполняются АЛУ в трёхбитной одноединичной системе троичных логических элементов, приведённым на рисунке справа.
Троичный полусумматор с одним неполным слагаемым
Первая ступень полного троичного сумматора.
Для сложения одного троичного разряда с разрядом переноса.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x1=x 1 1 1 0 0 0 неполное слагаемое x0=y 2 1 0 2 1 0 полное слагаемое 1 0 0 0 0 0 Перенос в n+1 0 2 1 2 1 0 Сумма по модулю 3 Результат операции занимает 1 и 2/3 троичных разряда.
Троичный полусумматор в несимметричной троичной системе счисления
Троичное логическое сложение двух троичных разрядов с разрядом переноса в несимметричной троичной системе счисления.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Троичный полусумматор можно рассматривать, как объединение двух бинарных троичных функций: «логического сложения по модулю 3 в троичной несимметричной системе счисления» и «разряд переноса при сложении двух полных троичных разрядов в троичной несимметричной системе счисления».
В отличие от предыдущих бинарных троичных функций с одноразрядным результатом, результат функции занимает 1 и 2/3 троичных разрядов, так как при сложении в троичной несимметричной системе в разряде переноса не бывает значения больше единицы.x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е слагаемое x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е слагаемое Перенос в n+1, несимметричный 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Сумма по модулю 3, несимметричная 1 0 2 0 2 1 2 1 0 
Снимок модели троичного полусумматора в несимметричной троичной системе счисления в трёхбитной одноединичной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[30].или в виде матрицы
Троичный полусумматор-полувычитатель в симметричной троичной системе счисления
Троичное логическое сложение-вычитание двух троичных разрядов с разрядом переноса в симметричной троичной системе счисления.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
Троичный полусумматор-полувычитатель можно рассматривать, как объединение двух бинарных троичных функций: «логического сложения-вычитания по модулю 3 в троичной симметричной системе счисления» и «разряд переноса при сложении-вычитании двух полных троичных разрядов в троичной симметричной системе счисления».
В отличие от сложения и вычитания в троичной несимметричной системе счисления, результат функции занимает 2 полных троичных разряда, так как при сложении-вычитании в троичной симметричной системе в разряде переноса бывает двойка.Таблица истинности в системе обозначений {-1,0,+1} = {i,0,1}
x1=x 1 1 1 0 0 0 i i i 1-е слагаемое-уменьшаемое x0=y 1 0 i 1 0 i 1 0 i 2-е слагаемое-вычитаемое Перенос в n+1 разряд, симметричный 1 0 0 0 0 0 0 0 i F6560s3(x,y) Сумма-разность по модулю 3, симметричная i 1 0 1 0 i 0 i 1 F-4160s3(x,y) или в виде матрицы
Таблица истинности в системе обозначений {-1,0,+1} = {0,1,2}
x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е слагаемое-вычитаемое x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2-е слагаемое-вычитаемое Перенос в n+1 разряд, симметричный 2 1 1 1 1 1 1 1 0 Сумма-разность по модулю 3, симметричная 0 2 1 2 1 0 1 0 2 
Снимок модели одноразрядного троичного симметричного полусумматора-полувычитателя в трёхбитной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[30].или в виде матрицы
Бинарные троичные логические функции с нонарным результатом (выходом)
Всего возможно
≈ 
простейших бинарных троичных функций с нонарным результатом (выходом).Троичный дешифратор «2 трита в 9 строк»
Результат изменяется при перемене мест операндов.
Можно рассматривать как объединение девяти бинарных троичных функций с унарными результатами.x1=x 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=y 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Бинарные троичные логические функции с m-арными результатами (выходами)
Всего возможно
бинарных троичных функций с m-арным выходом, то есть бесконечное число.К этим функциям относятся бинарные (двухразрядные) дешифраторы и демультиплексоры с m-арными (m-разрядными) выходами.
Тринарные троичные логические функции (операции, элементы)
Тринарные троичные логические операции (функции) с унарным выходом
Всего возможно
(7 триллионов 625 миллиардов 597 миллионов 484 тысячи 987) простейших тринарных (триарных) троичных функций с унарным выходом.Минимум
Вычисляется min(x, y, z)
27 входных комтринаций
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x2=x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-й аргумент (операнд) x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й аргумент (операнд) x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 3-й аргумент (операнд) 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 результат min(x,y,z) Максимум
Вычисляется max(x, y, z)
27 входных комтринаций
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x2=x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-й аргумент (операнд) x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й аргумент (операнд) x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 3-й аргумент (операнд) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 результат max(x,y,z) Равенство
Вычисляется равенство всех трёх операндов x=y=z; eq20(x, y, z)
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x2=x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-й аргумент (операнд) x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-й аргумент (операнд) x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 3-й аргумент (операнд) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 результат eq20(x,y,z) Единица переноса при полном троичном сложении в несимметричной троичной системе счисления
Результат не изменяется при перемене мест операндов.
x2=x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-е слагаемое x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 Перенос из n-1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Перенос в n+1 Троичный сумматор по модулю 3 при полном троичном сложении в несимметричной троичной системе счисления
Полное троичное сложение — тринарная (трёхоперандная) троичная функция учитывающая единицу переноса из предыдущего разряда.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x2=x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-е слагаемое x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 Перенос из n-1 2 1 0 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 Сумма по модулю 3 Тринарные троичные логические функции (операции, элементы) с бинарным (двухразрядным) результатом (выходом)
Всего возможно
(58 септиллионов 149 секстиллионов 737 квинтиллионов 003 квадриллиона 040 триллионов 059 миллиардов 690 миллионов 390 тысяч 169) простейших тринарных (триарных) троичных функций с бинарным выходом. Из этого числа наибольшую значимость имеют такие тринарные троичные функции, имеющие собственные названия, как сумматоры, шифраторы, дешифраторы, мультиплексоры, демультиплексоры.Троичный сумматор
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011.Полное троичное логическое сложение с переносом в несимметричной троичной системе счисления
Полный троичный одноразрядный сумматор является неполной тринарной троичной логической функцией, так как в разряде переноса только два значения 0 и 1. В отличие от предыдущих троичных тринарных функций с одноразрядным результатом, результат имеет длину 1 и 2/3 троичных разряда.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое x1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое x2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Перенос из n-1 разряда 2 1 0 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 МЗР суммы, сумма по модулю 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 СЗР суммы, перенос в n+1 разряд 
Снимок модели одноразрядного полного троичного сумматора в троичной несимметричной системе счисления в трёхбитной одноединичной системе логических элементов в логическом симуляторе Atanua[30].В разряде переноса не бывает третьего значения троичного разряда (2), так как в «худшем» случае
, то есть в старшем разряде «1». Единица переноса возникает в 9-ти случаях из 18.
Как в двоичной логике двоичный тринарный полный сумматор заменяется двумя бинарными полусумматорами, так и в троичной логике троичный тринарный полный сумматор можно заменить на два троичных бинарных полусумматора, только с той разницей, что два двоичных бинарных полусумматора одинаковые, а два троичных бинарных полусумматора разные.
1. Один полусумматор полный бинарный («сложение двух полных троичных разрядов»). Второй полусумматор — не полный бинарный («сложение одного полного троичного разряда с неполным троичным разрядом (с 2/3 от полного троичного разряда)»), так как в разряде переноса не бывает значений больших чем «1».
2. Один неполный бинарный «сложение 1 троичного разряда с 2/3 троичного разряда». Второй бинарный несимметричный «сложение 1 троичного разряда с 1 и 2/3 троичного разряда». Результат — двухразрядный длиной 1 и 2/3 троичных разряда.Троичный вычитатель
Полное троичное логическое вычитание с займом в несимметричной троичной системе счисления
Полный троичный одноразрядный вычитатель является неполной тринарной троичной логической функцией, так как в разряде займа только два значения 0 и 1. Результат имеет длину 1 и 2/3 троичных разряда.
Результат изменяется при перемене мест операндов.x0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 уменьшаемое x1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1-е вычитаемое x2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2-е вычитаемое, заём в n-1 2 1 0 0 2 1 1 0 2 0 2 1 1 0 2 2 1 0 МЗР разности, разность по модулю 3 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 СЗР разности, заём из n+1 разряда В разряде займа не бывает третьего значения троичного разряда (2), так как в «худшем» случае
, то есть в старшем разряде «1». Единица займа возникает в 9-ти случаях из 18.Троичный сумматор-вычитатель
В отличие от несимметричной троичной системы счисления, в которой сумматор и вычитатель являются разными логическими функциями, в троичной симметричной системе счисления (Фибоначчи) сложение и вычитание выполняются одной троичной функцией и, следовательно, одним устройством — сумматором-вычитателем.
Полное троичное логическое сложение-вычитание с переносом в симметричной троичной системе счисления
Снимок модели троичного тринарного (трёхоперандного, полного) сумматора-вычитателя в троичной симметричной системе счисления Фибоначчи в двухбитной системе троичных логических элементов в логическом симуляторе Atanua[30].В отличие от сложения в несимметричной троичной системе счисления при сложении в симметричной троичной системе счисления в разряде переноса может быть три значения (0, 1 и −1), поэтому число комтринаций увеличивается с 18 до 27.
Результат не изменяется при перемене мест операндов.x2=x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i i i i i i i i Перенос из n-1 x1=y 1 1 1 0 0 0 i i i 1 1 1 0 0 0 i i i 1 1 1 0 0 0 i i i 2-е слагаемое x0=z 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i 1 0 i Обозначение 1-е слагаемое 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 i 0 i i F3,3483426737048(x,y,z) СЗР, перенос в n+1 0 i 1 i 1 0 1 0 i i 1 0 1 0 i 0 i 1 1 0 i 0 i 1 i 1 0 F3,-624603703776(x,y,z) мл. знач. разр. суммы перенос (1 или −1) возникает в 8-ми случаях из 27, четыре раза −1 и четыре раза 1,
или кальки в несимметричной троичной системе с соответствием {-1,0,1} = {0,1,2}:
x2=x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Перенос из n-1 x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е слагаемое x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1-е слагаемое 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 СЗР, перенос в n+1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 2 1 мл. знач. разр. суммы с соответствием {0,1,-1} = {0,1,2}:
x2=x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Перенос из n-1 x1=y 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2-е слагаемое x0=z 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1-е слагаемое 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 2 СЗР, перенос в n+1 0 2 1 2 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 мл. знач. разр. суммы и с другими оставшимися 4-мя соответствиями.
Ноль в разряде переноса возникает в 4-х случаях, единица в разряде переноса возникает в 18-ти случаях, двойка в разряде переноса возникает в 4-х случаях.Троичный дешифратор «2 и 2/3 трита в 18 строк»
Можно рассматривать как объединение 18 тринарных (триарных) троичных функций с унарными результатами (выходами).
Результат изменяется при перемене мест операндов.x2=x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x1=y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x0=z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Троичный дешифратор «3 трита в 27 строк»
Можно рассматривать как объединение 27 тринарных (триарных) троичных функций с унарными результатами (выходами).
Тринарные троичные функции с тринарным выходом
Всего возможны
≈4.43*1038 простейших тринарных троичных функций с тринарным выходомТроичная сортировка убывающая
Сравнивает три трита и расставляет их по старшинству убывающе
x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-е сортируемое y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е сортируемое z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 3-е сортируемое f(3,1,222222222 222211211 222211210)3(x,y,z) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 наибольшее f(3,1,222211210 211111110 210110000)3(x,y,z) 2 2 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 среднее f(3,1,210110000 110110000 000000000)3(x,y,z) 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 наименьшее Троичная сортировка возрастающая
Сравнивает три трита и расставляет их по старшинству возрастающе
x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1-е сортируемое y 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2-е сортируемое z 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 3-е сортируемое f(3,1,210110000 110110000 000000000)3(x,y,z) 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 наименьшее f(3,1,222211210 211111110 210110000)3(x,y,z) 2 2 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 среднее f(3,1,222222222 222211211 222211210)3(x,y,z) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 наибольшее N-арные троичные логические функции
N-арные троичные логические функции
Всего возможно
простейших n-арных троичных функций.К этим функциям относятся n-арные шифраторы и n-арные мультиплексоры.
См. также
Примечания
- ↑ Unary Operations. Table 3: Invert http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
- ↑ Circuits. Logic Families. Ternary. Complement(F210)
- ↑ Unary Operations. Invert http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
- ↑ Unary Operations. Table 4: Rotate Up http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
- ↑ Circuits. Logic Families. Ternary. F220
- ↑ Unary Operations. Table 7: Shift Down http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
- ↑ Unary Operations. Table 5: Rotate Down http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
- ↑ Circuits. Logic Families. Ternary. F211
- ↑ Circuits. Logic Families. Ternary. F221
- ↑ Unary Operations. Table 6: Shift Up http://classic-web.archive.org/web/20080622120236/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Unary.htm
- ↑ 1 2 3 http://andserkul.narod2.ru/troichnie_alu/ А. С. Куликов. Троичные АЛУ
- ↑ http://web.archive.org/web/20080611055612/http://www.trinary.cc/ Веб архив. Сайт Стива Грабба Trinary.cc
- ↑ 1 2 http://jeff.tk:81/wiki/Trinary/Logic A.3.1. Constant Functions. Table A.3. Constant Functions и A.3.2. One-to-one Functions. Table A.4. One-to-one Functions
- ↑ 1 2 http://jeff.tk:81/wiki/Trinary/Logic A.3.2. One-to-one Functions. Table A.4. One-to-one Functions
- ↑ Circuit. Logic Families. Ternary. CGOR
- ↑ Binary Function. Table 11: The Mean Function http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Functions. Mean http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Circuit. Logic Families. Ternary. CGAND
- ↑ Binary Functions. Table 12: The Magnitude Function http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Operations. Table 8: The Min Function (A↓B) http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Operations. Min http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Operations. Table 9: The Max Function (A↑B) http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Operations. Max http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Functions. Table 12: The Magnitude Function http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Binary Functions. Table 12: The Magnitude Function http://classic-web.archive.org/web/20080623205822/www.trinary.cc/Tutorial/Algebra/Binary.htm
- ↑ Анатолий Медынцев. Обратимая троичная операция
- ↑ http://www.pcmag.ru/solutions/sub_detail.php?ID=1985&SUB_PAGE=4 Суждение и вычисление: не исключая третье. Александр Рябцев. Импликация Лукасевича
- ↑ http://society.polbu.ru/tvardovsky_lvovwarsawphilo/ch43_i.html К. Твардовский. Львовско-Варшавская философская школа. Исторические исследования логики Я.Лукасевичем
- ↑ http://www.inp.nsk.su/~kozak/ttl/ttlh01.htm Справочник по стандартным цифровым ТТЛ микросхемам
- ↑ 1 2 3 4 5 http://andserkul.narod2.ru/troichnie_summatori/ А. С. Куликов. Троичные сумматоры
Категория:- Троичная логика
Wikimedia Foundation. 2010.
