Теория Ходжа

Теория Ходжа — раздел алгебраической топологии. Более конкретно, эта теория имеет дело с последовательностями групп когомологий M, с вещественными коэффициентами, теории уравнений с обобщёнными операторами Лапласа асоциированных с римановой метрикой на M.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-ых годах как расширение когомологий де Рама, и имеет основные применения на трёх уровнях:

• Римановы многообразия
• Кэлеровы многообразия
• Алгебраическая геометрия комплексных проективных переменных.

В ранних работах, M бралось замкнутым (то есть компактным и без границы). На всех трёх уровнях теория была под большим влиянием последующих работ, Кунихико Кодайры (в Японии и позже, частично под влиянием Германа Вейля, в Принстоне) потом и многих других.

Приложения и примеры

Когомология де Рама

Оригинальная формулировка теории Ходжа была для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентированное многобразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ω^k(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама это последовательность дифференциальных операторов

$0\rightarrow \mathbb R\xrightarrow{d_{-1}} \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0$

где d_k обозначает внешнюю производную на Ω^k(M). Тогда когомология де Рама это просто последовательность векторных пространств, определённых так

$H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{im}\,d_{k-1}}.$

Можно определить Гильбертово пространство сопряжённое внешней производной d, обозначенной $\delta$ с помошью теоремы Рисса так. для всех α ∈ Ω^k(M) и β ∈ Ω^k+1(M), мы потребуем чтобы

$\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV$

где $\langle \ ,\ \rangle_k$ метрика индуцированная на $\Omega^k(M)$. Лапласиан определим тогда так $\Delta=d\delta+\delta d$. Это позволит нам определить пространства гармонических форм

$\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.$

Можно легко показать, что $d\mathcal H_\Delta^k(M)=0$, поэтому есть каноническое отображение $\varphi:\mathcal H_\Delta^k(M)\rightarrow H^k(M)$. Первая часть оригинальных теорем Ходжа утверждает, что $\varphi$ — это изоморфизм векторных пространств. Другими словами, для каждого класса когомологий де Рама на M, есть уникальное гармоническое представление.

Одно из главных следствий этого есть то, что группа когомологий де Рама на компактном многобразии, конечномерна. Это следует из того, что операторы $\Delta$ эллиптические, и ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда представлят из себя конечномерное векторное пространство.

Структуры Ходжа

Основная статья: Структура Ходжа

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа такое: для вещественного векторного пространства $W$ структура Ходжа на $W$ — это разложение его комплексификации $W^{\mathbb C} = W \otimes \mathbb C$ в -градуированную прямую сумму

$W^{\C} = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \bigoplus_{p=0}^{k} W^{p,k-p}$

причём комплексное сопряжение на $W^{\C}$ переставляет градуированные слагаемые $W^{p,q}$ и $W^{q,p}$:

$\overline{W^{p,q}} = W^{q,p}$

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами $H^k(V,\R)$ неособого комплексного проективного многообразия $V$ имеют такую структуру Ходжа:

$H^k = \oplus_{p=0}^k H^{p,k-p}$

где $H^{p,q}$ — группы когомологий Дольбо многообразия $V$. Отсюда следует связь между числами Бетти $b_k = \dim H^k$ и $h_{p,q} = \dim H^{p,q}$:

$b_k = \sum_{p=0}^k h_{p,k-p}$

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку $(p,q)$ (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков $H^{q} (V,\Omega^{p})$, в работах Дольбо.

В случае сингулярных или некомпактных многообразий необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающейся в том, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на некоторую пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература

• Ф. Гриффитс, Дж. Харрис Принципы алгебраической геометрии = Principles of Algebraic Geometry. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6
• К. Вуазен Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия = Hodge theory and complex algebraic geometry I. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6