Спин-орбитальное взаимодействие

Спин-орбитальное взаимодействие — в квантовой физике взаимодействие между движущейся частицей и её собственным магнитным моментом, известным как спин. Наиболее часто встречающимся примером такого взаимодействия является взаимодействие электрона, находящегося на одной из орбит в атоме, с собственным спином. Такое взаимодействие, в частности, приводит к возникновению так называемой тонкой структуры энергетического спектра электрона и расщеплению спектроскопических линий атома.

Вывод гамильтониана спин-орбитального взаимодействия

Спин-орбитальное взаимодействие является релятивистским эффектом, поэтому для вывода части гамильтониана отвечающему данному взаимодействию, следует отталкиваться от уравнения Дирака с учтённым в гамильтониане вкладом от внешнего электромагнитного поля с вектор потенциалом A и скалярным потенциалом φ, для чего в уравнении Дирака, согласно лагранжеву формализму^[1], нужно произвести замену $\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} - (e/c) \mathbf {A}$ и $E \rightarrow E +e \varphi$. В итоге уравнение Дирака принимает вид:

$i \hbar {\frac{\partial \psi}{\partial t}} = [c \boldsymbol \alpha (\mathbf p - {\frac{e}{c}} \mathbf A ) + \beta m c^2 + e \varphi ] \psi$,

где $\beta = \begin{pmatrix} \mathbf 1 & 0 \\ 0 & -\mathbf 1\\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol \alpha = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol \sigma \\ \boldsymbol \sigma & 0\\ \end{pmatrix}$

$\sigma_i$ — матрицы Паули

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, \quad \ \mathbf 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.$

Из данного Гамильтониана видно, что волновая функция ψ должна быть четырёхкомпонентной, причём известно, что две её компоненты соответствуют решениям с положительной энергией, а две — с отрицательной. Роль решений с отрицательной энергией мала при рассмотрении вопросов связанных с магнитными явлениями, поскольку дырки в спектре отрицательной энергии соответствуют позитронам, для образования которых нужна энергия порядка $m c^2$, что значительно превышает энергию связанную с магнитными явлениями. В связи с вышесказанным, удобно воспользоваться каноническим преобразованием Фолди и Ваутхайзена^[2] , которое разбивает уравнение Дирака на пару двухкомпонентных уравнений. Одно из которых описывает решения с отрицательной энергией, а другое с положительной и имеет Гамильтониан следующего вида:

$\mathcal H = \left [ mc^2 + \frac{1}{2m} \left ( {\mathbf p} - \frac{e}{c} {\mathbf A} \right )^2 - \frac{p^4}{8m^3c^2} \right ] + {e \varphi} - \frac{e \hbar}{2mc} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf H} + \left \{ - i {\frac{e \hbar^2}{8 m^2 c^2}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\nabla} \times {\mathbf E} - {\frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}}{\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf E} \times {\mathbf p} \right \} - \frac{e \hbar^2}{8 m^2 c^2} {\nabla} \cdot {\mathbf E} .$

Члены заключённые в фигурные скобки, характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. В частности, если электрическое поле центрально-симметричное, то имеем $\nabla \times \mathbf E = 0$ и Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия принимает вид:

$\mathcal H_{so}= - { \frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}}{\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf E} \times {\mathbf p} = {\frac{\hbar}{4 m^2 c^2}} {\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf r} \times {\mathbf p} = {\frac{\hbar}{4 m^2 c^2}} {\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf L},$

где $\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$ — оператор углового момента электрона.

Данный результат согласуется с классическим выражением, описывающим взаимодействие спина электрона с полем обусловленным орбитальным движением электрона. Поясним это.

Классическое выражение энергии спин-орбитального взаимодействия для атомарного электрона

Пусть электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью v в поле ядра, помещённого в начале системы координат 1 и которое создаёт кулоновское поле $e \mathbf E = - {\frac{\mathbf r}{r} \frac{\partial V}{\partial r}}$. В системе координат 2, связанной с движущимся электроном, наблюдатель будет видеть движущееся ядро, которое создает как электрическое, так и магнитное поле, с напряженностью E' и H', соответственно. Как следует из теории относительности E' и H' связаны с Е следующими соотношениями:

$\mathbf E'=\mathbf E,\quad \mathbf H' \approx - \frac{1}{c}\mathbf v \times \mathbf E = - \frac{1}{m c}\mathbf p \times \mathbf E.$

Где отброшены члены порядка $v^2/c^2.$

Тогда уравнение изменения спинового момента количества движения $\mathbf S = \frac{\hbar}{2}\boldsymbol \sigma { }$ (связанного, согласно гипотезе Уленбека — Гаудсмита, гиромагнитным отношением с магнитным моментом $\boldsymbol \mu$, как $\frac{ |\boldsymbol \mu |}{| \mathbf S |} = \frac{|e|}{mc} { }$) в системе координат 2 будет иметь вид:

$\frac{d \mathbf S}{dt}=\mu \times \mathbf H' = - \frac{e \hbar}{2 m^2 c^2} \boldsymbol \sigma \times \left [ \mathbf p \times \mathbf E \right ].$

Это уравнение соответствует взаимодействию спина электрона с электромагнитным полем, которое описывается Гамильтонианом следующего вида:

$\mathcal H'_{so} = \frac{e \hbar}{2 m^2 c^2} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf p \times \mathbf E.$

Заметим, что вид гамильтониана с точность до множителя 1/2 совпадает с видом спин-орбитальной части Гамильтониана полученного из уравнения Дирака с помощью преобразования Фолди и Ваутхайзена. Отсутствие этого множителя связано с тем, что уравнение изменения магнитного момента электрона будет верно только в том случае, если система 2 не будет вращающейся, в противном случае это уравнение, из-за прецессии Томаса, должно иметь вид

$\frac{d \mathbf S}{dt}=\frac{e \hbar}{2 m c} \boldsymbol \sigma \times \mathbf H' - \omega_{T} \times \mathbf S ,$

где $\omega_{T}$ — томосовская угловая скорость вращения.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем поэтому томосовская угловая скорость описывается соотношением

$\omega_{T} \approx \frac{1}{2 m^2 c^2}{\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} [\mathbf r \times \mathbf p]$

Таким образом Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия будет иметь вид:

$\mathcal H_{so} = \frac{\hbar}{2 m^2 c^2} \frac{1}{r}\frac{dV}{dr} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf r \times \mathbf p - \frac{\hbar}{4 m^2 c^2}{\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf r \times \mathbf p = \frac{\hbar}{4 m^2 c^2}{\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf r \times \mathbf p,$

Что в точности совпадает с ранее полученным результатом.

См. также

• Эффект Рашбы

Примечания

1. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
2. ↑ L.L.Foldy, and S.A.Wouthuysen . — Phys.Rev. 78, 29, 1950.

Литература

• Мир, 2001. — С. 391—398. — 519 с. — 5000 экз. — ISBN 5-03-003414-5
• Уайт Р. Квантовая теория магнетизма. Пер. с англ. 2-е изд., испр. и. доп. — М.: Мир, 1985. — 304 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. — ИО НФМИ, 2000. — 296 с.
• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 703 с.

Для улучшения этой статьи по физике желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.