Признак совпадения пределов

Признак совпадения пределов. Если существуют двойной предел и при каждом $\,n$ предел $\lim_{m \to \infty}s_{n,m}$, то повторный предел существует и совпадает с двойным:

$\lim_{n, m \to \infty}s_{n,m} = \lim_{n \to \infty}\lim_{m \to \infty}s_{n,m}.\qquad(*)$

Доказательство

Если $\varepsilon > 0,$ то для достаточно больших $\,n$ и $\,m$ выполняется $\,s - \,\varepsilon \leqslant s_n$_$\,m$$\leqslant s + \varepsilon.$ Перейдём в этом неравенстве к пределу при $\,m \rightarrow \infty$ и получим $\,s - \,\varepsilon \leqslant \lim_{m \to \infty}s_n$_$\,m$$\leqslant s + \varepsilon.$ Откуда и следует $\,(*).$

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.