Подземная гидравлика

Подземная гидравлика (подземная гидродинамика) — наука о движении нефти, воды, газа и их смесей (флюидов) через горные породы, имеющие пустоты, которые могут представлять собой поры или трещины. Теоретической основой ПГ является теория фильтрации, описывающая движение флюида с позиции механики сплошной среды.

Введение

Начало развития науке о движении жидкостей и газов в пористых и трещиноватых средах было положено исследованиями французских инженеров А. Дарси и Дюпюи. Анри Дарси исследовал движение воды через вертикальные песчаные фильтры. В 1856 году он сформулировал и опубликовал обнаруженный им экспериментально закон, согласно которому скорость фильтрации прямо пропорциональна градиенту давления.

Основы моделирования пористых сред заложены Ч. Слихтером, рассмотревшим модели идеального и фиктивного грунта.

В конце XIX века Н.Е. Жуковский вывел дифференциальные уравнения фильтрации, показал, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, и указал на математическую аналогию теплопроводности и фильтрации.

Определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении принадлежит Н.Н. Павловскому. Им же введен критерий Рейнольдса в подземную гидродинамику

Первая в мире обширная монография, содержащая систематическое изложение основ подземной гидравлики «Нефтепромысловая механика», была опубликована Л.С. Лейбензоном в 1934 году.

Пористые среды

Месторождения нефти приурочены чаще всего к пластам терригенных и карбонатных осадочных горных пород (песчаников, известняков, алевритов, глин) представляющих собой скопления зерен минералов скрепленных цементирующим материалом. Поровое пространство осадочных горных пород — сложная нерегулярная система сообщающихся межзереных пустот, в которых трудно выделить отдельные поровые каналы. Размеры пор в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров. Намного сложнее поровое пространство карбонатных пород (известняков, доломитов), которое характеризуется неоднородной системой первичных пор, а также системой трещин, каналов и каверн, образующихся после образования самой породы. Исследованием пористых сред (коллекторов) занимается петрофизика. Моделирование пористых сред и их классификация производится по двум основным направлениям: геометрическому и механическому.

Геометрические модели пористых сред

С геометрической точки зрения пористые среды делятся на две большие группы: гранулярные (поровые) и трещиноватые. Емкость и фильтрация в пористой среде определяется структурой порового пространства между зернами породы. Трещиноватые среды представляют собой систему развитых трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, метаморфизма, структурных условий, состава и свойств вмещающей среды. Чаще всего имеют место грунты смешанного типа, для которых емкостью служат трещины, каверны, поровые пространства, ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит системе микротрещин, сообщающей эти пустоты между собой.

Для количественного описания используют идеализированные модели. Для описания пористых сред используют понятия фиктивного и идеального грунта. Фиктивный грунт это среда состоящая из шаров одного размера уложенных во всем объеме пористой среды одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах ромбоэдра. Острый угол ромбоэдра изменяется от 60 до 90 градусов. Идеальным грунтом называют представление среды в виде трубочек, расположенных в ребрах элементарного ромбоэдра.

Трещиновато пористые среды рассматривают как совокупность разномасштабных пористых сред: системы трещин, где пористые блоки играют роль «зерен», а трещины — роль извилистых «пор» и системы пористых блоков. В простейшем случае трещиноватый пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин определенной протяженности, причем все трещины одинаково раскрыты и отстоят друг от друга на одинаковое расстояние.

Механические модели

Всякое изменение сил, действующих на горные породы вызывает их деформацию, а также изменение внутренних напряжений. Динамическое состояние горных пород, как и флюидов, описывается реологическими соотношениями. Обычно реологические соотношения получают в результате анализа экспериментальных данных натурных исследование или физического моделирования. По характеру изменения свойств под действием внешних деформаций породы разделяют на недеформируемые, упругие и пластичные. У недеформируемых сред изменением объема пор можно принебреч. Упругие (кулоновские) среды линейно изменяют объем пор под действием нагрузки и полностью восстанавливают его после разгружения. К таким средам относятся песчаники, известняки, базальты. Пластичные (глины) и текучие (несцементированные пески) породы деформируются с остаточным изменением объема.

Кроме того пористые среды могут быть изотропными или анизотропными.

Параметры пористой среды

Основной характеристикой пористой среды является пористость, определяемая как отношение объема пор V_p к объему породы V:

$m = \frac{V_p}{V}$.

Для характеристики потока важную роль играет отношение площади просветов S_p ко всей площади образца S, называемое просветностью:

$n=\frac{S_p}{S}$.

Для изотропной среды несложно доказать, что просветность равна пористости.

В реальных условиях пористый скелет обволакивается тонкой пленкой жидкости, остающейся неподвижной даже при значительных градиентах давления. Кроме того, существуют тупиковые поры. В связи с этим вводят динамический коэффициент пористости, равный объему пор занятых подвижной жидкостью V_pl, отнесенному к объему образца:

$m_d=\frac{V_{pl}}{V}$

Структуру пористого пространства характеризуют эффективный диаметр частиц и гидравличесий радиус пор. Динамика течения флюида определяется в основном трением флюида о скелет породы. В связи с этим вводится удельная поверхность частиц составляющих породу, определяемая как суммарная площадь поверхности частиц содержащихся в единице объема.

Способность породы пропускать к забоям скважины флюиды называется характеризуется ее проницаемостью.

В модели фиктивного грунта сферических частиц все указанные характеристики пористой среды могут быть получены аналитическим путём.

В трещиноватых средах аналогом пористости служит трещиноватость:

$m_t=\frac{V_t}{V}$

Вторым важным параметром является густота трещин — отношение полной длины всех трещин находящихся в данном сечении трещинной породы l к удвоенной площади сечения S:

$G=\frac{l}{2 S}$

Кроме этого, трещиноватая среда характеризуется средней длиной трещин и их раскрытостью. Также, ввиду очевидной анизотропии трещины, проницаемость данных пород описывается тензорной величиной, для определения которой разработаны различные аналитические и численные методы^[1][2].

Основы теории фильтрации

Для анализа движения жидкости и газов в пористой среде, как и в обычной механике сплошных сред, используются уравнения непрерывности, движения и состояния. Уравнение непрерывности в теории фильтрации приобретает вид

$\frac{\partial(\rho {m})}{\partial t}+div(\rho w) = 0,$

где m -пористость среды, ρ — плотность флюида, w — скорость фильтрации.

Уравнение движения в пористых средах устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и полем давления, вызывающего течение. Уравнение движения в пористых средах выражает закон сохранения импульса и, в случае фильтрации ньютоновской жидкости, может быть получено из уравнений Навье — Стокса, описывающих течение жидкости внутри пор, с помощью осреднения. В простейшем случае линейной фильтрации в качестве уравнения движения используется закон Дарси. В задачах нелинейной фильтрации различают два случая: больших и малых скоростей.

При больших скоростях, когда существенна инерционная составляющая используется формула Форхгеймера

$\frac{\delta p}{L}=\frac{\eta}{f}w+\frac{\beta}{\sqrt{f}}w^2$

Где η — динамическая вязкость жидкости, f проницаемость среды. На практике используется так же закон фильтрации в виде

$w=\mathbf{C}(\frac{\delta p}{L})^{\frac{1}{n}}$

где n и С — постоянные, определяемые опытным путем, причем 1< n < 2.

При малых скоростях фильтрации проявляются неньютоновские реологические свойства жидкости. Неньютоновское поведение жидкости проявляется в отклонении связи касательного напряжения и градиента скорости фильтрации в направлении перпендикулярном направлению течения от выражения

$\tau=\mu \frac{d w}{d y}$

представляющему собой уравнение прямой линии, проходящей через начало координат. Различают три класса неньютоновских жидкостей.

1.Стационарно реологические жидкости, для которых напряжение зависит только от градиента скорости. К жидкостям этого типа относятся вязкопластичные, дилатантные и псевдопластичные жидкости.

2. Нестационарно реологические жидкости, напряжения в которых зависят как от градиента скорости, так и от времени действия напряжений.

3 Вязкоупругие жидкости, то есть среды проявляющие свойства как жидкости так и твердого тела а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. У этих жидкостей зависимость напряжения от градиента скорости включает в себя производные по времени как напряжений, так и градиента скорости.

Полученная система уравнений для проведения дальнейших расчетов дополняется уравнениями, связывающими плотность флюида и параметры пористой среды с давлением.

Примечания

1. ↑ Oda M. Permeability tensor for discontinuous rock masses. Geotechnique, No. 4 (35), 1985.
2. ↑ Rodrigues et al. Upscaling of hydraulic properties of fractured porous media: full permeability tensor and continuum scale simulation. 2006 SPE/DOE Symposium on Improved Oil Recovery held in Tulsa, Oklahoma, USA.

Литература

• Barrenblatt G.E., Zheltov I.P., Kochina I.N. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homogeneous Liquids in Fissured Rocks. Journal of Applied Mathematics, vol. 25, 1960.
• Dietrich P. et al. Flow and Transport in Fractured Porous Media. — Springer-Verlag, Berlin, 2005.
• Барренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Недра, 1972. — 288 с.
• Басниев К. С., Власов А. М., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидравлика: Учебник для вузов. — М.:Недра, 1986. — 303 с.
• Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. — М.-Ленинград: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1947. — 244 с.
• Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Институт компьютерных исследований, 2004. — 640 с.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — 2 изд.— М.: Недра, 1977. — 664 с.