Простые числа, отличающиеся на шесть

Простые числа, отличающиеся на шесть — пара простых чисел вида «p, p + 6»^[1]. Например, таковыми являются числа 5 и 11. В английском языке для таких пар чисел применяется термин «sexy primes» (англ. sexy — сексуальный, возбуждающий, англ. primes — простые числа). Термин произошёл от перевода с английского языка латинского написания цифры шесть как sex.^[2]

Примеры пар таких чисел:

(5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), (61, 67), (67, 73), (73, 79), (83, 89), (97, 103), (101, 107), (103, 109), (107, 113), (131, 137), (151, 157), (157, 163), (167, 173), (173, 179), (191, 197), (193, 199), (223, 229), (227, 233), (233, 239), (251, 257), (257, 263), (263, 269), (271, 277), (277, 283), (307, 313), (311, 317), (331, 337), (347, 353), (353, 359), (367, 373), (373, 379), (383, 389), (433, 439), (443, 449), (457, 463), (461, 467), … (последовательность A023201 в OEIS)

Все простые числа больше трёх разбиваются на два класса, в зависимости от остатка от деления на 6, который может быть равен 1 или 5. При этом разность между любыми двумя простыми числами из одного класса всегда кратна 6.

Количество

Не доказано, что количество пар простых чисел, отличающихся на шесть, бесконечно. По состоянию на май 2009 года самая большая известная пара таких чисел состоит из 11 593 десятичных цифр.^[3] Меньшее число этой пары равно:

(117924851·587502·9001# ·(587502·9001# + 1) + 210)·(587502·9001# − 1)/35 + 5,

где 9001# = 2·3·5·…·9001 — примориал числа 9001.

Бывают также тройки и четвёрки подобных простых чисел. Существует единственная подобная пятёрка (5, 11, 17, 23, 29), так как среди любых других пяти последовательных чисел, отличающихся на 6, содержится число, делящееся на 5.

Схожие понятия

Простые числа $p$, $p + 2$ — простые близнецы (последовательность A001359 в OEIS). Существует только одна тройка простых чисел вида $p$, $p + 2$ и $p + 4$ — это (3, 5, 7), так как в любой такой тройке одно из чисел делится на 3.

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Sexy Primes (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. ↑ trottermath Sexy Primes  (англ.). The World of Trotter Math (November 30th, 2010). Архивировано из первоисточника 9 июля 2012. Проверено 3 ноября 2011.
3. ↑ Ken Davis, «11593 digit sexy prime pair». Retrieved 2009-05-06.

Литература

• G. G. Szpiro, Peaks and gaps: Spectral analysis of the intervals between prime numbers, Physica A, v. 384 (2), 2007, pp. 291–296
• George G. Szpiro, George Szpiro 7. Twins, Cousins, and Sexy Primes // The secret life of numbers: 50 easy pieces on how mathematicians work and think. — National Academies Press, 2006. — С. 24—26. — 210 с. — ISBN 0309096588

Ссылки