Борновское приближение

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.

Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы $m \$ на потенциале $V \$ действующем на расстоянии $a \$, приближение заведомо применимо если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний $E_0 \$, т.е. $V \ll E_0 \sim \hbar^2/m(a)^2 \$. Если же $V \$ не мало по сравнению с $E_0 \$, то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда $V \ll \hbar v/a \sim E_0 (a/\lambda) \$, где $\lambda \$ есть дебройлевская длина волны частицы.

Для сечения рассеяния (в элемент телесного угла $d o \$) частицы с изменением импульса $\hbar \vec{q} \$ в борновском приближении получается:

$d\sigma=\frac{\mu^2}{4\pi^2\hbar^4}\left|\int V(\vec{r}) e^{i\vec{q}\vec{r}}d^3r\right|^2 d o$

Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:

$w_{p'p}=\frac{2\pi}{\hbar}\left|V_{p'p}\right|^2\delta(E_{p'}-E_p)d\nu_{p'}$,

где $\nu_{p'} \$ есть плотность конечных состояний. Подставляя энергию свободной частицы $E_p=p^2/(2m) \$ , вычисляя матричный момент потенциала в базисе плоских волн $\psi_{\vec{p}}(\vec{r})=e^{i\vec{p}\vec{r}/\hbar} \$ и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния $p' \$, мы немедленно приходим к формуле Борна.

Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающей структуры.

Литература

• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.