Неравенство Джексона

Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:

$E_n(f)_{L^2}<K\omega_f(\delta).$

В примере величина наилучшего приближения функции $f$ полиномами степени $n$ в пространстве $L^2$ оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции $f$ в точке $\delta$. Величина $K$ называется константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа $\delta$, при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.

История

Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (англ. Dunham Jackson) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что

$E_n(f)\leqslant c\omega\left(f,\;\frac{1}{n}\right)$

и

$E_n(f)\leqslant \frac{c_r}{n^r}\omega\left(f^{(r)},\;\frac{1}{n}\right).$

Здесь $E_n(f)$ есть величина наилучшего приближения функции $f$ в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени $n-1$. В первом неравенстве функция $f$ предполагается непрерывной, а во втором — $r$-раз дифференцируемой.

В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году академик С. Н. Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка $k$. В 1949 году С. Б. Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что

$E_n(f)\leqslant c_k\omega_k\left(f,\;\frac{1}{n}\right)$

и

$E_n(f)\leqslant\frac{c_{k+r}}{n^r}\omega_k\left(f^{(r)},\;\frac{1}{n}\right).$

Здесь константы $c_k$ не зависят от $f$, $n$ или $r$. В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона — Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона — Стечкина.

В 1961 году Н. П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:

$E_n(f)<1\cdot\omega\left(f,\;\frac{\pi}{n}\right).$

В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах $L_p$ для всех $p\in[1,\;\infty)$:

$E_n(f)_p<\frac{3}{2}\cdot\omega\left(f,\;\frac{\pi}{n}\right)_p.$

Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.