Неравенство Брунна

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Пусть $K_0$ и $K_1$ — компактные тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского $K_\lambda=(1-\lambda)K_0+\lambda K_1$, $\lambda\in[0,1]$, то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств $K_0$ и $K_1$ в отношении $\lambda$ к $(1-\lambda)$. Тогда функция $f(\lambda)=\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}K_\lambda}$ есть вогнутая функция от $\lambda$. Более того, функция $f(\lambda)$ линейна в том и только в том случае, когда $K_0$ и $K_1$ гомотетичны.

Следствия

Теорема Бибербаха о максимальном свойстве шара:

В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём.

Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу $W$ и к его центральносимметричной копии $W'$.

История

Теорема установлена Брунном (англ.) в 1887, уточнена и дополнена Минковским^[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником^[2].

Литература

1. ↑ Minkowski Hermann Geometrie der Zahlen. — Leipzig: Teubner, 1896.
2. ↑ Lyusternik, Lazar A. (1935). «Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen». Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) III: 55–58.

• В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.