Неравенство Бесселя

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента $x$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и $e_1, e_2, ...$ — ортонормированная последовательность элементов $H$. Тогда для произвольного $x \in H$ выполняется неравенство:

$\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2$

где <∙,∙> обозначает скалярное произведение в пространстве $H$. Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

$0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,$

которое выполняется для произвольного $n \geq 1$.

Ссылки

• Bessel's Inequality статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4)