Метрика Громова

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Громовым в 1981.^[1]

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств $X$ и $Y$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях $X\hookrightarrow Z$ и $Y\hookrightarrow Z$ в общее метрическое пространство $Z$. При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам $Z$.

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между $X$ и $Y$ в дизъюнктном объединении $X\sqcup Y$, снабжённым метрикой $\rho$ такой, что сужение $\rho$ на $X$ совпадает с метрикой на $X$ и сужение $\rho$ на $Y$ совпадает с метрикой на $Y$. При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам $\rho$.

Комментарии

• Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами $X$ и $Y$» говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между $X$ и $Y$».
• Расстояние между изометрическими классами $X$ и $Y$ обычно обозначается $d_{GH}(X,Y)$
• Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается $\mathcal{M}$ или $\mathfrak{M}$.

Связанные определения

• Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств $X_n$ сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства $X_\infty$, если $d_{GH}(X_n,X_\infty)\to0$ при $n\to\infty$

Свойства

• Метрическое пространсво $\mathcal{M}$ является полным с внутренней метрикой.

Вариации и обобщения

• В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
• Если разрешить метрике принимать значение $\infty$, то можно также отказаться от конечности диаметра.

Литература

1. ↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981

• M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1980.
• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.