Метод характеристик

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применен и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка. Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Характеристики уравнения первого порядка

Метод заключается в отыскании кривых (именуемых характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции $u(x,y)$

$a(x,y,u) \frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y,u) \frac{\partial u}{\partial y}=c(x,y,u). (1)$

Рассмотрим поверхность z = u(x,y) в R³. Нормаль к этой поверхности задается выражением

$(u_x(x,y),u_y(x,y),-1).\,$

В результате получим ^[1], что уравнение (1) эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,$

является касательным к поверхности z = u(x,y) в каждой точке.

Также уравнения характеристик могут быть записаны в виде ^[2]:

$\frac{dx}{a(x,y,z)} = \frac{dy}{b(x,y,z)} = \frac{dz}{c(x,y,z)},$

или же, если x(t), y(t), z(t) есть функции параметра t:

$\begin{array}{rcl} \frac{dx}{dt}&=&a(x,y,z)\\ \frac{dy}{dt}&=&b(x,y,z)\\ \frac{dz}{dt}&=&c(x,y,z). \end{array}$

Пример

В качестве примера рассмотрим уравнение переноса:

$a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0\,$

где $a\,$ постоянная, а $u\,$ - функция переменных $x\,$ и $t\,$.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, т.е. получить уравнение вида

$\frac{d}{ds}u(x(s), t(s)) = F(u, x(s), t(s))$,

где $(x(s),t(s))\,$ - характеристика. Вначале мы устанавливаем

$\frac{d}{ds}u(x(s), t(s)) = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{dt}{ds}$

Теперь, если положить $\frac{dx}{ds} = a$ и $\frac{dt}{ds} = 1$, получим

$a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} \,$, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

$\frac{d}{ds}u = a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0.$

Как видно, вдоль характеристики $(x(s), t(s))\,$ исходное уравнение превращается в ОДУ $u_s = F(u, x(s), t(s)) = 0\,$, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, $u(x_s, t_s) = u(x_0, 0)\,$, где точки $(x_s, t_s)\,$ и $(x_0, 0)\,$ лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

• $\frac{dt}{ds} = 1$, при $t(0)=0\,$ решение — $t=s\,$,
• $\frac{dx}{ds} = a$, при $x(0)=x_0\,$ решение — $x=as+x_0=at+x_0\,$,
• $\frac{du}{ds} = 0$, при $u(0)=f(x_0)\,$ решение — $u(x(t), t)=f(x_0)=f(x-at)\,$.

В нашем случае, характеристики - это семейство прямых с наклоном $a\,$, и решение $u\,$ остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Ссылки

Литература

Примечания

1. ↑ John 1991
2. ↑ Delgado 1997