Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Если отрезок $\left[ a, b \right]\,\!$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

1. Формуле левых прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx f(a) (b - a).$
2. Формуле правых прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx f(b) (b - a).$
3. Формуле прямоугольников (средних): $\int^b_a f(x)\,dx \approx f\left(\frac{a + b}{2}\right) (b - a).$

Составные квадратурные формулы

В случае разбиения отрезка интегрирования на $n\,\!$ элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1. Для левых прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) (x_{i+1} - x_i).$
2. Для правых прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) (x_i - x_{i-1}).$
3. Для средних прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) (x_{i+1} - x_i) = \sum_{i=1}^n f\left(\frac{x_{i-1} + x_i}{2}\right) (x_i - x_{i-1}).$

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при $n \to \infty\,\!$ они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением $n\,\!$ точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

Сравнение применения различных формул прямоугольников

Формула левых прямоугольников   Формула средних прямоугольников   Формула правых прямоугольников

Составные формулы для равномерных сеток

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

$x_i = a + i h, \qquad h = \frac{b - a}{n},$

где $h\,\!$ — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

1. Составная формула левых прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f_i = h (f_0 + f_1 + \ldots + f_{n-1}).$
2. Составная формула правых прямоугольников: $\int^b_a f(x)\,dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f_i = h (f_1 + f_2 + \ldots + f_{n}).$

Погрешность метода

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

$E(f) = \frac{f'(\xi)}{2} (b - a)^2.$

Для формулы прямоугольников (средних)

$E(f) = \frac{f''(\xi)}{24} (b - a)^3.$

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

$E(f) = \frac{f'(\xi)}{2} (b - a) h.$

Для составной формулы прямоугольников:

$E(f) = \frac{f''(\xi)}{24} (b - a) h^2.$

Пример реализации

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
double f(double x){ //Подынтегральная функция
   return sin(x); //Например, sin(x)
}
 
double rectangle_integrate(double a, double b, int n, double (*f)(double) ){
   double result, h;
   int i;
 
   h = (b-a)/n; //Шаг сетки
   result = 0.0;
 
   for(i=1; i <= n; i++){
      result += f( a + h * (i - 0.5) ); //Вычисляем в средней точке и добавляем в сумму
   }
   result *= h;
 
   return result;
}
 
int main(void){
   double integral;
   integral=rectangle_integrate(0,2,100,f);
   printf("The value of the integral is: %lf \n", integral);
   return 0;
}

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 25 марта 2012.