Мера Синая

Мера Синая — Рюэлля — Боуэна, или SRB-мера — мера на фазовом пространстве динамической системы, к которой стремится распределение траекторий типичных начальных (в смысле меры Лебега) точек (возможно, из какой-либо области). При этом множество точек, для которых происходит такое стремление, называется бассейном притяжения этой меры.

Понятие названо в честь Я. Г. Синая, Д. Рюэлля и Р. Боуэна, в работах которых оно было введено.

Определения

Более точно, имеется два неэквивалентных понятия: определение меры Синая-Рюэля-Боуэна, связанное с итерациями типичных точек («наблюдаемая мера»), и его модификация, связанная с итерациями абсолютно непрерывных мер («естественная мера»).

Определение 1. Мера $\mu$ называется (наблюдаемой) мерой Синая-Рюэлля-Боуэна, если для множества начальных точек $x$ положительной меры Лебега распределение орбит сходится к $\mu$:

$\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \delta_{f^j(x)} \to \mu, \quad n\to\infty. \qquad \qquad (*)$

В этом случае множество точек x, удовлетворяющих (*), называется бассейном притяжения меры $\mu$.

Эквивалентным образом это определение может быть сформулировано в терминах временных средних:

Определение 1'. Мера $\mu$ называется (наблюдаемой) мерой Синая-Рюэлля-Боуэна, если для некоторого множества $M$ положительной меры Лебега временные средние любой непрерывной функции $\varphi$ на $M$ сходятся почти всюду к её интегралу по мере $\mu$

$\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \varphi(f^j(x)) \xrightarrow[n\to\infty]{\text{a.e. in} \,\, M} \int \varphi \, d\mu. \qquad \qquad (**)$

В этом случае максимальное множество $M$, для которого выполнено (**), называется бассейном притяжения меры $\mu$.

В случае естественной меры рассматриваются итерации не атомарной начальной меры (или, что то же самое, распределение индивидуальной орбиты), а усреднение абсолютно непрерывных начальных мер:

Определение 2. Мера $\mu$ называется (естественной) мерой Синая-Рюэлля-Боуэна, если для некоторого множества $M$ положительной меры Лебега для любой абсолютно непрерывной начальной меры m её временные средние сходятся почти всюду мере $\mu$:

$\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} (f^j)_*(m) \to \mu, \quad n\to\infty. \qquad \qquad (***)$

В этом случае максимальное измеримое множество $M$, для которого выполнено (***), называется бассейном притяжения меры $\mu$.

См. также

• Теорема Крылова — Боголюбова

Литература

• Я.Г.Синай, Гиббсовские меры в эргодической теории, Успехи Математических Наук, 27:4 (1972), 21--69.
• R. Bowen. Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer Lecture Notes in Math. 470 (1975).
• D. Ruelle. A measure associated with Axiom A attractors. Amer. J. Math., 98 (1976), pp. 619--654.
• L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Statist. Phys., 108 (2002), pp. 733–754.
• M. Blank, L. Bunimovich. Multicomponent dynamical systems: SRB measures and phase transitions. Nonlinearity, 16 (2003), pp. 387--401.