Интеграл Курцвейля-Хенстока

В математике, Интеграл Курцвейля-Хенстока является обобщением интеграла Римана, позволяющим полностью решить задачу о восстановлении дифференцируемой функции по её производной. Ни интеграл Римана (в том числе и несобственный), ни интеграл Лебега не дают решения этой задачи в общем случае.

Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае было дано Арно Данжуа в 1912. Данжуа сделал попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции $f(x)=x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x^2}\right)$. Функция $\displaystyle f'(x)$ определена и конечна во всех точках, но не интегрируема по Лебегу. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дал другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет П. С. Александров и Г. Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.

Позднее, в 1957, чешский математик Ярослав Курцвейль придумал новое определение интеграла, также позволявщее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение представляло собой модификацию определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком. Из-за этого в настоящее время данный интеграл известен как интеграл Курцвейля-Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона.

По причине простоты определения интеграла Хенстока-Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы заменить им интеграл Римана в начальном курсе матанализа, но пока эта идея не популярна, отчасти, из-за существенно более сильной формулы Ньютона-Лейбница, верной для дифференцируемых почти всюду функций. Доказательство этого факта весьма нетривиально.

Определение

Определение интеграла Курцвейля-Хенстока:

Назовем калибровочной функцией любую функцию $\delta \colon [a, b] \to (0, \infty)$.

Назовем оснащенным разбиением P отрезка [a,b] конечный набор пар $\displaystyle(\xi_k, [x_{k-1},x_k])$, где $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ и $\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]$.

Назовем оснащенное разбиение P δ-тонким, если $\xi_k-\delta(\xi_k) < x_{k-1} \leqslant \xi_k \leqslant x_k < \xi_k + \delta (\xi_k)$ при всех k от 1 до n.

Для оснащенного размеченного разбиения P и функции $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ назовем суммой Римана выражение

$S(P, f) = \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) f(\xi_k)$.

Функция $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ называется интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю на отрезке [a, b], если существует число I, обладающее следующим свойством: для любого ε > 0 существует такая калибровочная функция δ_ε, что для любого δ_ε-тонкого оснащенного разбиения P имеет место неравенство | S(P,f) − I | < ε.

В этом случае число I называется интегралом Курцвейля-Хенстока от функции f.

Существование δ-тонких оснащенных разбиений для данной калибровочной функции δ следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).

Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля-Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.

Свойства

Литература

• Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. Обобщенные интегралы 2010. 280 с. ISBN 978-5-397-00267-7

Ссылки

• Несобственный интеграл Римана и интеграл Хенстока в R^n, П. Мальдониa, В. А. Скворцов Матем. заметки, 2005, том 78, выпуск 2, страницы 251—258
• Обобщенные интегралы и ряды Фурье И. А. Виноградова, В. А. Скворцов Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970, 1971, страницы 65-107