- Символы Шёнфлиса
-
Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечной группы симметрии, наряду с символами Германа — Могена. Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891. Могут также использоваться для обозначения пространственной группы (трёхмерной кристаллографической группы).
Содержание
Обозначение точечных групп
При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:
- Сn, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
- S2n (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть Sn = Cnh для нечётного n.
-
- Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
- Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Как правило, используется только Сi, но иногда в литературе встречаются обозначания типа С3i, С5i.
- Dn — является группой Сn с добавочными осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
-
- Dnh также имеет горизонтальную и вертикальные плоскости симметрии.
- Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные плоскости симметрии, идущие по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.
- T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы Td от Th в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содежит, зато Td содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в Th таких осей нет.
-
- T - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
- O - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (только поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
- I - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (только поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).
Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблицеn 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ∞ Cn C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 ... C∞ Cnv C1v = C1h C2v C3v C4v C5v C6v C7v C8v ... C∞v Cnh C1h = Cs C2h C3h C4h C5h C6h C7h C8h ... C∞h Sn S1 = Cs S2 = Ci S3 = C3h S4 S5 = C5h S6 S7 = C7h S8 ... S∞ = C∞h Cni C1i = Ci C2i = Cs C3i = S6 C4i = S4 C5i = S10 C6i = C3h C7i = S14 C8i = S8 ... C∞i = C∞h Dn D1 = C2 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 ... D∞ Dnh D1h = C2v D2h D3h D4h D5h D6h D7h D8h ... D∞h Dnd D1d = C2h D2d D3d D4d D5d D6d D7d D8d ... D∞d = D∞h Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.
В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D4d и D6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, Td, Th, O and Oh составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.
Группы с n = ∞ называются предельными группами[1] или группами Кюри. К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от нем. kugel — шар) — группа вращений, а также группа Kh, которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы Kh. Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от англ. rotation — вращение) и Rh(3). В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) (специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).
Обозначение пространственных групп
Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользяшего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в International Tables
См. также
Внешние ссылки
- Symmetry @ Otterbein - Галерея молекул, на которых можно показать элементы симметрии и как они действуют
- Symmetry @ Otterbein - Примеры определения симметрии молекул
Литература
- Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
- П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
- Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
- И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. - М.: Мир, 1991 (страница 99)
Ссылки
- Теория симметрии кристаллов Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская
- Симметрия и структурные классы атомно-молекулярных систем. Апериодические системы
.
Категории:- Научные классификации
- Кристаллография
Wikimedia Foundation. 2010.