Индекс Тейла

Индекс Тейла представляет собой показатель измерения социального неравенства, предложенный в 1967 г. нидерландским учёным Анри Тейлом^[1]. Индекс Тейла основан на предложенном Шенноном понятии информационной энтропии. В отличие от коэффициента Джини индекс Тейла разложим, то есть, если популяция разбита на группы, то индекс Тейла всей популяции можно записать в виде взвешенной суммы индексов Тейла каждой из групп и показателя социального неравенства между группами. Разложимость индекса Тейла позволяет говорить о проценте социального неравенства, объяснимого заданным разбиением популяции на группы, и сравнивать различные разбиения^[2].

Расчёт индекса Тейла

Индексы Тейла $T_1$ и $T_0$ рассчитываются по следующим формулам^[3]:

$T_1=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{\overline{x}} \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right)$

$T_0=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \ln{\frac{\overline{x}}{x_i}} \right)$

где $x_i$ доход $i$-го индивидуума, $\overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$ среднее значение дохода, и $N$ количество индивидуумов в популяции. Если доходы всех индивидуумов равны, то индексы Тейла равны нулю. Если доход всей популяции сконцентрирован в руках одного индивидуума, то индексы Тейла равны ln N. Иногда в литературе индексом Тейла называется только индекс $T_1$, в то время как $T_0$ называется среднелогарифмическим отклонением^[4]. Среднелогарифмическое отклонение, чувствительно к изменениям у нижней границы шкалы распределения, в то время как индекс Тейла, одинаково чувствителен к изменениям по всей шкале распределения^[5].

Разложимость индекса Тейла

Если популяция разбита на группы $G_1, ..., G_J$, то индекс Тейла можно записать как

$T =\sum_{j=1}^J \omega_j*T(G_j) + T(\{y_1,...,y_J\}),$

где $\omega_j = \frac{N_j}{N}\frac{y_j}{\overline{x}}$, $y_j$ — среднее значение дохода в группе $G_j$, $\overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$ среднее значение дохода во всей популяции, $N_j$ — количество индивидуумов в группе $G_j$ и $N$ — количество индивидуумов в популяции^[2]. Отношение $\frac{T(\{y_1,...,y_J\})}{T}$ — процент социального неравенства, объяснимый заданным разбиением на группы. Так, по 32,6 % неравенства уровней расходов в Индонезии может быть объяснено уровнем образования главы семьи, 18,9 % провинцией проживания и только 2,6 % гендером главы семьи^[6].

Математические особенности индекса Тейла

Индекс Тейла инвариантен по отношению к умножению, то есть, он не изменяется при девальвации. Индекс Тейла не инвариантен по отношению к сложению.

Индекс Тейла и индекс Аткинсона

Индекс Аткинсона вычисляется с применением функции $1-e^{- T}$, где $T$ — индекс Тейла^[7].

Применения индекса Тейла

Кроме мнoгочисленных применений в области экономики^[6], индекс Тейла используется при оценке качества ирригационных систем^[8] и распределения метрик программного обеспечения^[9].

Ссылки

• Статистическая система R позволяет вычисление индекса Тейла с помощью пакета «ineq».
• Аналогичный пакет доступен и для системы MATLAB.

Примечания

1. ↑ H. Theil, Economics and Information Theory, North-Holland, 1967.
2. ↑ ^{1 2} F. A. Cowell, S. P. Jenkins, How much inequality can we explain? A methodology and an application to the United States, Economic Journal 105 (429) (1995) 421-30.
3. ↑ http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2008/volume15/EB-07O10036A.pdf
4. ↑ F. A. Cowell, Measurement of inequality, Vol. 1 of Handbook of Income Distribution, Elsevier, 2000, pp. 87 — 166.
5. ↑ Алин Кудуэль, Йеско С.Хендшель и Квентин T. Уодон. Измерение и анализ бедности
6. ↑ ^{1 2} T. Akita, R. A. Lukman, Y. Yamada, Inequality in the distribution of household expenditures in Indonesia: A Theil decomposition analysis, Developing Economies XXXVII (2) (1999) 197—221.
7. ↑ James E. Foster in annexe A.4.1 (p.142) of: Amartya Sen, On Economic Inequality, 1973/1997
8. ↑ Rajan K. Sampath. Equity Measures for Irrigation Performance Evaluation. Water International, 13(1), 1988.
9. ↑ A. Serebrenik, M. van den Brand. Theil index for aggregation of software metrics values. 26th IEEE International Conference on Software Maintenance. IEEE Computer Society.