Гладкий инфинитезимальный анализ

Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Ф. В. Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел синтетической дифференциальной геометрии.

Нильпотентными инфинитезималями называют числа $\varepsilon$, удовлетворяющие условию $\varepsilon^2 = 0$; при этом совсем не обязательно $\varepsilon = 0.$

Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключенного третьего, утверждающего, что из $\neg (a \neq b)$ следует $a = b.$ В частности, для некоторых инфинитезималей $\varepsilon$ нельзя доказать ни $\varepsilon = 0$, ни $\neg (\varepsilon = 0)$. То, что закон исключенного третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы:

В гладком инфинтезимальном анализе любая функция, домен которой — R (вещественные числа дополненные инфинитезималями), непрерывна и бесконечно дифференцируема.

Несмотря на это можно попробовать определить разрывную функцию, например, как

$f(x) = \begin{cases}1, & x = 0,\\ 0, & x \neq 0.\end{cases}$

Если бы закон исключенного третьего выполнялся, это бы была полностью определенная, разрывная функция. Однако существует множество значений $x$ — инфинитезималей — для которых не выполняется ни $x = 0$, ни $x \neq 0$, так что эта функция определена не на всем R

В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями.

Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — $1/\omega$, где $\omega$ — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается принцип переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но не доказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе.

Интуитивно, гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определенное направление, но не достаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удается потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.

См. также

• Бесконечно малая
• Теория категорий
• Неклассический анализ
• Синтетическая дифференциальная геометрия

Для дальнейшего чтения

• John Lane Bell, Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF file)
• Bell, John L., A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. Second edition, 2008.
• Ieke Moerdijk and Reyes, G.E., Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag, 1991.

Внешние ссылки

• Michael O'Connor, An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis