Код Рида

Коды Рида — Соломона (англ. Reed–Solomon codes) — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида — Соломона, работающие с байтами (октетами).

Код Рида — Соломона является частным случаем БЧХ-кода.

В настоящее время широко используется в системах восстановления данных с компакт-дисков, при создании архивов с информацией для восстановления в случае повреждений, в помехоустойчивом кодировании.

История

Код Рида — Соломона был изобретён в 1960 году сотрудниками лаборатории Линкольна Массачуссетского технологического института Ирвином Ридом (англ.) и Густавом Соломоном (англ.). Идея использования этого кода была представлена в статье «Polynomial Codes over Certain Finite Fields». Первое применение код Рида — Соломона получил в 1982 году в серийном выпуске компакт-дисков. Эффективные алгоритмы декодирования были предложены в 1969 году Элвином Берлекэмпом (англ.) и Джэймсом Месси (алгоритм Берлекэмпа — Мэсси) и в 1977 году Давидом Мандельбаумом (англ.) (метод, использующий Алгоритм Евклида ^[1]).

Формальное описание

Коды Рида — Соломона являются важным частным случаем БЧХ-кода, корни порождающего полинома которого лежат в том же поле, над которым строится код ($m=1$). Пусть $\alpha$ — элемент поля $\textstyle GF(q)$ порядка $\textstyle n$. Если $\alpha$ — примитивный элемент, то его порядок равен $q-1$, то есть $\alpha^{q-1}=1,\quad \alpha^i \neq 1, 0<i<q-1$. Тогда нормированный полином $g(x)$ минимальной степени над полем $\textstyle GF(q)$, корнями которого являются $d-1$ подряд идущих степеней $\alpha^{l_0}, \alpha^{l_0+1},...,\alpha^{l_0+d-2}$ элемента $\alpha$, является порождающим полиномом кода Рида — Соломона над полем $\textstyle GF(q)$:

$g(x) = (x - \alpha^{l_0})(x - \alpha^{l_0+1})\dots(x - \alpha^{l_0+d-2})$

где $l_0$ — некоторое целое число (в том числе 0 и 1), с помощью которого иногда удается упростить кодер. Обычно полагается $l_0 = 1$. Степень многочлена $\textstyle g(x)$ равна $d-1$.

Длина полученного кода $n$, минимальное расстояние $d$ (минимальное расстояние d линейного кода является минимальным из всех расстояний Хемминга всех пар кодовых слов, см. Линейный код). Код содержит $r=d-1=\deg (g(x))$ проверочных символов, где $\deg()$ обозначает степень полинома; число информационных символов $k = n - r = n - d + 1$. Таким образом $\textstyle d = n - k + 1$ и код Рида — Соломона является разделимым кодом с максимальным расстоянием (является оптимальным в смысле границы Синглтона).

Кодовый полином $c(x)$ может быть получен из информационного полинома $m(x)$, $\deg m(x) \leqslant k-1$, путем перемножения $m(x)$ и $g(x)$:

$c(x) = m(x)g(x)$

Свойства

Код Рида — Соломона над $\textstyle GF(q^m)$, исправляющий $t$ ошибок, требует $2t$ проверочных символов и с его помощью исправляются произвольные пакеты ошибок длиной $t$ и меньше. Согласно теореме о границе Рейгера, коды Рида — Соломона являются оптимальными с точки зрения соотношения длины пакета и возможности исправления ошибок — используя $2t$ дополнительных проверочных символов исправляется $t$ ошибок (и менее).

Теорема (граница Рейгера). Каждый линейный блоковый код, исправляющий все пакеты длиной $t$ и менее, должен содержать, по меньшей мере, $2t$ проверочных символов.

Код, двойственный коду Рида — Соломона, есть также код Рида-Соломона. Двойственным кодом для циклического кода называется код, порожденный его проверочным многочленом.

Матрица $G=[ \begin{array}{cc} I_{k*k} & P_{k*(n-k)} \\ \end{array}]$ порождает код Рида — Соломона тогда и только тогда когда любой минор матрицы $P_{k*(n-k)}$ отличен от нуля.

При выкалывании или укорочении кода Рида-Соломона снова получается код Рида — Соломона. Выкалывание — операция, состоящая в удалении одного проверочного символа. Длина $n$ кода уменьшается на единицу, размерность $k$ сохраняется. Расстояние кода $d$ должно уменьшиться на единицу, ибо в противном случае удаленный символ был бы бесполезен.Укорочение - фиксируем произвольный столбец $(n,k,d)$ кода и выбираем только те векторы, которые в данном столбце содержат 0. Это множество векторов образует подпространство.

Исправление многократных ошибок

Код Рида — Соломона является одним из наиболее мощных кодов, исправляющих многократные пакеты ошибок. Применяется в каналах, где пакеты ошибок могут образовываться столь часто, что их уже нельзя исправлять с помощью кодов, исправляющих одиночные ошибки.

$(q^m - 1, q^m -1 - 2t)$-код Рида — Соломона над полем $\textstyle GF(q^m)$ с кодовым расстоянием $d = 2t + 1$ можно рассматривать как $((q^m - 1)m,(q^m -1 - 2t)m)$-код над полем $\textstyle GF(q)$, который может исправлять любую комбинацию ошибок, сосредоточенную в $t$ или меньшем числе блоков из m символов. Наибольшее число блоков длины $m$, которые может затронуть пакет длины $l_i$, где $l_i \leqslant mt_i - (m-1)$, не превосходит $t_i$, поэтому код, который может исправить $t$ блоков ошибок, всегда может исправить и любую комбинацию из $p$ пакетов общей длины $l$, если $l+(m-1) \leqslant mt$.

Практическая реализация

Кодирование с помощью кода Рида — Соломона может быть реализовано двумя способами: систематическим и несистематическим (см. [1], описание кодировщика).

При несистематическом кодировании информационное слово умножается на некий неприводимый полином в поле Галуа. Полученное закодированное слово полностью отличается от исходного и для извлечения информационного слова нужно выполнить операцию декодирования и уже потом можно проверить данные на содержание ошибок. Такое кодирование требует большие затраты ресурсов только на извлечение информационных данных, при этом они могут быть без ошибок.

Структура систематического кодового слова Рида — Соломона

При систематическом кодировании к информационному блоку из $k$ символов приписываются $2t$ проверочных символов, при вычислении каждого проверочного символа используются все $k$ символов исходного блока. В этом случае нет затрат ресурсов при извлечении исходного блока, если информационное слово не содержит ошибок, но кодировщик/декодировщик должен выполнить $k(n - k)$ операций сложения и умножения для генерации проверочных символов. Кроме того, так как все операции проводятся в поле Галуа, то сами операции кодирования/декодирования требуют много ресурсов и времени. Быстрый алгоритм декодирования, основанный на быстром преобразовании Фурье, выполняется за время порядка $O({ln( {n}) }^2)$.

Кодирование

При операции кодирования информационный полином умножается на порождающий многочлен. Умножение исходного слова $S$ длины $k$ на неприводимый полином при систематическом кодировании можно выполнить следующим образом:

• К исходному слову приписываются $2t$ нулей, получается полином $\textstyle T = S x^{2t}$.
• Этот полином делится на порождающий полином $G$, находится остаток $R$, $\textstyle S x^{2t} = Q G + R$, где $Q$ — частное.
• Этот остаток и будет корректирующим кодом Рида — Соломона, он приписывается к исходному блоку символов. Полученное кодовое слово $\textstyle C = S x^{2t} + R$.

Кодировщик строится из сдвиговых регистров, сумматоров и умножителей. Сдвиговый регистр состоит из ячеек памяти, в каждой из которых находится один элемент поля Галуа.

Существует и другая процедура кодирования (более практичная и простая). Положим $a_{i} \in GF(q) , (i = 1,2,\ldots,k-1) , \alpha \in GF(q)$ - примитивный элемент поля $GF(q)$, и пусть $a = (a_0,a_1,\ldots,a_{k-1})$ - вектор информационных символов , а значит $a(x) = a_0 + a_{1}x + \ldots + a_{k-1}x^{k-1}$ - информационный многочлен. Тогда вектор $u = (a(1),a(\alpha),\ldots,a(\alpha^{q-2}))$ есть вектор кода Рида - Соломона , соответствующий информационному вектору $a$. Этот способ кодирования показывает , что для кода РС вообще не нужно знать порождающего многочлена и порождающей матрицы коды, достаточно знать разложение поля $GF(q)$ по примитивному элементу $\alpha$ и размерность кода $k$ (длина кода в этом случае определяется как $n = q - 1$). Все дело в том , что за разностью $n-k$ полностью скрывается порождающий многочлен $g(x)$ и кодовое расстояние.

Декодирование

Декодировщик, работающий по авторегрессивному спектральному методу декодирования, последовательно выполняет следующие действия:

• Вычисляет синдром ошибки
• Строит полином ошибки
• Находит корни данного полинома
• Определяет характер ошибки
• Исправляет ошибки

Вычисление синдрома ошибки

Вычисление синдрома ошибки выполняется синдромным декодером, который делит кодовое слово на порождающий многочлен. Если при делении возникает остаток, то в слове есть ошибка. Остаток от деления является синдромом ошибки.

Построение полинома ошибки

Вычисленный синдром ошибки не указывает на положение ошибок. Степень полинома синдрома равна $2t$, что много меньше степени кодового слова $n$. Для получения соответствия между ошибкой и ее положением в сообщении строится полином ошибок. Полином ошибок реализуется с помощью алгоритма Берлекэмпа — Месси, либо с помощью алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида имеет простую реализацию, но требует больших затрат ресурсов. Поэтому чаще применяется более сложный, но менее затратоемкий алгоритм Берлекэмпа — Месси. Коэффициенты найденного полинома непосредственно соответствуют коэффициентам ошибочных символов в кодовом слове.

Нахождение корней

На этом этапе ищутся корни полинома ошибки, определяющие положение искаженных символов в кодовом слове. Реализуется с помощью процедуры Ченя, равносильной полному перебору. В полином ошибок последовательно подставляются все возможные значения, когда полином обращается в ноль — корни найдены.

Определение характера ошибки и ее исправление

Основная статья: Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема#Методы декодирования

По синдрому ошибки и найденным корням полинома с помощью алгоритма Форни определяется характер ошибки и строится маска искаженных символов. Однако для кодов РС существует более простой способ отыскания характера ошибок. Как показано в ^[2] для кодов РС с произвольным множеством $2t_d$ последовательных нулей $\alpha^b,\alpha^{b+1},\ldots,\alpha^{b+\delta},\delta = 2t_d - 1$

$e_{j_{l}} = \frac{(\alpha^{j_{l}})^{2-b} \Lambda(\alpha^{-j_{l}}) }{\sigma'(\alpha^{-j_{l}})} \quad \quad \quad(*)$

где $\sigma'(x)$ формальная производная по $x$ многочлена локаторов ошибок $\sigma(x)$ ,а $\Lambda(x) = \sigma(x) S(x)\mod x^{2t_d + 1}$

Далее после того как маска найдена , она накладывается на кодовое слово с помощью операции XOR и искаженные символы восстанавливаются. После этого отбрасываются проверочные символы и получается восстановленное информационное слово.

Алгоритм Судана

В данное время стали применяться принципиально новые методы декодирования , например алгоритм предложенный в 1997году Мадху Суданом ^[3].

Удлинение кодов РС

Удлинение кодов РС - это процедура, при которой увеличивается длина и расстояние кода (при этом код ещё находится на границе Синглтона и алфавит кода не изменяется),а количество информационных символов кода не изменяется^[4]. Такая процедура увеличивает корректирующую способность кода. Рассмотрим удлинение кода РС на один символ. Пусть $\upsilon = (c_0,c_1,\ldots,c_{q-2})$ - вектор кода РС, порождающий многочлен которого есть $g(x) = (x - \alpha)(x - \alpha^2)\ldots(x - \alpha^{d-1}),\deg g(x) = d - 1 = r = n - k,n = q - 1$. Пусть теперь $c_{q-1} = -\sum_{i=1}^{q-2} c_{i}$. Покажем ,что добавление к вектору $~\upsilon$ символа $~c_{q-1}$ увеличит его вес до $d + 1$,если $c_{q-1} \ne 0$. Многочлен, соответствующий вектору кода, можно расписать как $\upsilon(x) = g(x)*z(x)$, но тогда с учётом выражения для $c_{q-1}$ получим $\upsilon(1) = g(1)z(1) = -c_{q-1}$. $g(1) \ne 0$, так как 1 не принадлежит списку корней порождающего многочлена. Но и $z(1) \ne 0$, так как в этом случае $(x-1)g(x)|\upsilon(x)$ ,что увеличило бы расстояние кода вопреки условию, это значит что $c_{q-1} \ne 0$ и вес кода увеличился, за счёт добавления нового символа $c_{q-1}$. Новые параметры кода $n_1 = n + 1 , k_1 = k , d_1 = d + 1$, удлиненный вектор $v_1 = (c_0, c_1 , \ldots , c_{q-2},c_{q-1})$. Проверочная матрица не удлиненного кода имеет вид

      $H = \begin{Vmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{q-2} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(q-2)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & \alpha^{d-1} & \alpha^{2(d-1)} & \cdots & \alpha^{(d-1)(q-2)} \end{Vmatrix}$

Тогда проверочная матрица, удлиненного на один символ РС кода будет

      $H_1 = \begin{Vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{q-2} & 0 \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(q-2)} & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 1 & \alpha^{d-1} & \alpha^{2(d-1)} & \cdots & \alpha^{(d-1)(q-2)} & 0 \end{Vmatrix}$

Применение

Сразу после появления (60-е годы 20-го века) коды Рида - Соломона стали применяться в качестве внешних кодов в каскадных конструкциях, использующихся в спутниковой связи. В подобных конструкциях $q$-ые символы РС(их может быть несколько) кодируются внутренними сверточными кодами. На приемном конце эти символы декодируются мягким алгоритмом Витерби (эффективный в каналах с АБГШ) . Такой декодер будет исправлять одиночные ошибки в q-ичных символах , когда же возникнут пакетные ошибки и некоторые пакеты q-ичных символов будут декодированы неправильно, тогда внешний декодер Рида - Соломона исправит пакеты этих ошибок. Таким образом будет достигнута требуемая надежность передачи информации (^[5]).

В настоящий момент коды Рида — Соломона имеют очень широкую область применения благодаря их способности находить и исправлять многократные пакеты ошибок.

Запись и хранение информации

Код Рида — Соломона используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (ECC), записи на CD/DVD диски. Даже если поврежден значительный объем информации, испорчено несколько секторов дискового носителя, то коды Рида — Соломона позволяют восстановить большую часть потерянной информации. Также используется при записи на такие носители, как магнитные ленты и штрихкоды.

Запись на CD-ROM

Возможные ошибки при чтении с диска появляются уже на этапе производства диска, так как сделать идеальный диск при современных технологиях невозможно. Также ошибки могут быть вызваны царапинами на поверхности диска, пылью и т. д. Поэтому при изготовлении читаемого компакт-диска используется система коррекции CIRC (Cross Interleaved Reed Solomon Code). Эта коррекция реализована во всех устройствах, позволяющих считывать данные с CD дисков, в виде чипа с прошивкой firmware. Нахождение и коррекция ошибок основана на избыточности и перемежении (redundancy & interleaving). Избыточность примерно 25 % от исходной информации.

При записи на аудиокомпакт-диски используется стандарт Red Book. Коррекция ошибок происходит на двух уровнях C1 и C2. При кодировании на первом этапе происходит добавление проверочных символов к исходным данным, на втором этапе информация снова кодируется. Кроме кодирования осуществляется также перемешивание (перемежение) байтов, чтобы при коррекции блоки ошибок распались на отдельные биты, которые легче исправляются. На первом уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки длиной один и два байта (один и два ошибочных символа соответственно). Ошибочные блоки длиной три байта обнаруживаются и передаются на следующий уровень. На втором уровне обнаруживаются и исправляются ошибочные блоки, возникшие в C2, длиной 1 и 2 байта. Обнаружение трех ошибочных символов является фатальной ошибкой и не может быть исправлено.

Беспроводная и мобильная связь

Этот алгоритм кодирования используется при передаче данных по сетям WiMAX, в оптических линиях связи, в спутниковой и радиорелейной связи. Метод прямой коррекции ошибок в проходящем трафике (Forward Error Correction, FEC) основывается на кодах Рида — Соломона.

Примеры кодирования

16-ричный (15,11) код Рида — Соломона

Пусть $t=2, l_0 = 1$. Тогда

$g(x)=(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^3)(x-\alpha^4)=x^4+\alpha^{13}x^3+\alpha^{6}x^2+\alpha^{3}x+\alpha^{10}$

.

Степень $g(x)$ равна 4, $n-k=4$ и $k = 11$. Каждому элементу поля $\mathrm{GF}(16)$ можно сопоставить 4 бита. Информационный многочлен является последовательностью 11 символов из $\mathrm{GF}(16)$, что эквивалентно 44 битам, а все кодовое слово является набором из 60 бит.

8-ричный (7,3) код Рида — Соломона

Пусть $t=2, l_0 = 4$. Тогда

$g(x)=(x-\alpha^4)(x-\alpha^5)(x-\alpha^6)(x-\alpha^0)=x^4+\alpha^{6}x^3+\alpha^{6}x^2+\alpha^{3}x+\alpha$

.

Пусть информационный многочлен имеет вид

$m(x)=\alpha^{4}x^2+x+\alpha^3$

.

Кодовое слово несистематического кода запишется в виде

$c(x)=m(x)g(x)=(\alpha^{4}x^2+x+\alpha^3)(x^4+\alpha^{6}x^3+\alpha^{6}x^2+\alpha^{3}x+\alpha)=\alpha^{4}x^6+\alpha x^5+\alpha^{6}x^4+0x^3+0x^2+\alpha^{5}x+\alpha^{4}$

что представляет собой последовательность семи восьмеричных символов.

Альтернативный метод кодирования 9-ричного (8,4) кода Рида — Соломона

Построим поле Галуа $GF(3^2)$ по модулю многочлена $x^2 + x + 2$.Пусть $\alpha$ его корень, тогда $\alpha^2 + \alpha + 2 = 0$, таблица поля имеет вид:

      $~ 0 = 0 = (00)$
      $~ \alpha^0 = 1 = (10)$
      $~ \alpha^1 = \alpha = (01)$
      $~ \alpha^2 = 1 + 2\alpha = (12)$ 
      $~ \alpha^3 = 2 + 2\alpha = (22)$
      $~ \alpha^4 = 2 = (20)$
      $~ \alpha^5 = 2\alpha = (02)$
      $~ \alpha^6 = 2 + \alpha = (21)$
      $~ \alpha^7 = 1 + \alpha = (11)$

Пусть информационный многочлен $~a(x) = 1 + \alpha x + \alpha^2 x^2 + \alpha^3 x^3$, далее производя соответствующие вычисления над построенным полем получим $~a(1) = \alpha^2 , a(\alpha) = 0 , a(\alpha^2) = \alpha^6 , a(\alpha^3) = 0 , a(\alpha^4) = \alpha^5 , a(\alpha^5) = 0 , a(\alpha^6) = \alpha^7 , a(\alpha^7) = 1$

В итоге построен вектор кода РС с параметрами $~n = 8,k = 4 ,d =5$.На этом кодирование законченно. Заметим ,что при этом способе нам не потребовался проверочный многочлен кода^[4].

Примеры декодирования

Пусть поле $GF(2^3)$ генерируется примитивным элементом, неприводимый многочлен которого $p(x) = x^3 + x + 1$. Тогда $p(\alpha) = \alpha^3 + \alpha + 1 = 0$. Пусть $b = 0 , t_d = 2$. Тогда порождающий многочлен кода РС равен $g(x) = (x + 1)(x + \alpha)(x + \alpha^2)(x + \alpha^3) = x^4 + \alpha^2 x^3 + \alpha^5 x^2 + \alpha^5 x^2 + \alpha^6$. Пусть теперь принят многочлен $r(x) = \alpha x^2 + \alpha^5 x^4$. Тогда $S_1 = r(1) = \alpha + \alpha^5 = \alpha^6 , S_2 = r(\alpha) = \alpha^5,S_3 = \alpha,S_4 = \alpha$. Тогда ключевая система уравнений получается в виде

$\begin{pmatrix} \alpha^6 & \alpha^5 \\ \alpha^5 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_2 \\ \sigma_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \end{pmatrix}$

Теперь рассмотрим Евклидов алгоритм решения этой системы уравнений.

• Начальные условия:

                   $~r_0(x) = x^5 , r1(x) = S(x) = 1 + \alpha^6 x + \alpha^5 x^2 + \alpha x^3 + \alpha x^4$
                   $~b_0(x) = 0,b_1(x) = 1$

• $~i = 2$

$~x^5 = (1 + \alpha^6x + \alpha^5 x^2 + \alpha x^3 + \alpha x^4)(\alpha^6 x + \alpha^6) + \alpha^5 x + x^2 + \alpha x + \alpha^6$
 $~r_2(x) = \alpha^5 x^3 + x^2 + \alpha x + \alpha^6$
 $~q_2(x) = \alpha^6 x + \alpha^6$
 $~b_2(x) = 0 + (\alpha^6 x + \alpha^6)(1) = \alpha^6 x + \alpha^6$

• $~i = 3$

$~1 + \alpha^6 x + \alpha^5 x^2 + \alpha x^3 + \alpha x^4 = (\alpha^5 x^3 + x^2 + \alpha x + \alpha^6)(\alpha^3 x + \alpha^2) + \alpha^6 x^2 + \alpha x + \alpha^3$

$\quad \quad ~r_3(x) = \alpha^6 x^2 + \alpha x + \alpha^3$

$\quad \quad ~q_3(x) = \alpha^3 x + \alpha^2$

$\quad \quad ~b_3(x) = 1 + (\alpha^3 x + \alpha^2)(\alpha^6 x + \alpha^6) = \alpha^3 + \alpha^4 x + \alpha^2 x^2$

Алгоритм останавливается, так как $~\deg[r_3(x)] = 2 = t_d$ отсюда следует, что $~\sigma(x) = \alpha^3 + \alpha^4 x + \alpha^2 x^2$

Далее полный перебор по алгоритму Чени выдает нам позиции ошибок ,это $j_1 = 2 ,\quad j_2 = 4$.Потом по формуле $(*)$ получаем что $~e_2 = \alpha , e_4 = \alpha$

Таким образом декодированный вектор $~ c(x) = r(x) + e(x) = 0$. Декодирование завершено, исправлены две ошибки^[6].

Примечания

1. ↑ Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — С. 92—93. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0
2. ↑ Искусство помехоустойчивого кодирования
3. ↑ Алгоритм Судана
4. ↑ ^{1 2} Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2007. — С. 212-213. — ISBN 5-7417-0191-4
5. ↑ М. Вернер Основы кодирования. — Техносфера, 2004. — С. 268-269. — ISBN 5-94836-019-9
6. ↑ Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — С. 116—119. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0

Литература

• Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976. — С. 596.
• Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and Practice of Error Control Codes. — М.: Мир, 1986. — 576 с.
• Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования = Algebraic Coding Theory. — М.: Мир, 1971. — С. 478.
• Егоров С.И. Коррекция ошибок в информационных каналах периферийных устройств ЭВМ. — Курск: КурскГТУ, 2008. — С. 252.
• Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2007. — 262 с. — ISBN 5-7417-0191-4
• Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — 320 с. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0
• М. Вернер Основы кодирования. — Техносфера, 2004. — 288 с. — ISBN 5-94836-019-9

Ссылки

• Могущество кодов Рида — Соломона или информация, воскресшая из пепла (статья Криса Касперски)
• Помехоустойчивое кодирование в пакетных сетях (статья В. Варгаузина)
• Error Correcting Code (ECC)
• CD-R диски, технология изнутри
• Формат CD
• Коды Рида-Соломона

См. также

• Конечное поле
• Обнаружение и исправление ошибок
• Циклический код
• Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
• Турбо-код