Конъюнкция

Конъю́нкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Синонимы: логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние, иногда просто "И".

Конъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, т.е. иметь три операнда или n-арной операцией, т.е. иметь n операндов. Чаще всего встречаются следующие варианты:
в инфиксной записи:

$~a \And\And ~b\,,\ ~a \And ~b\,,\ a \land b\,,\ a \cdot b\,,\ ~a~\mbox{AND} ~b\,$,

по аналогии с умножением в алгебре знак логического умножения может быть пропущен: $~a b\,$,
в префиксной записи:

$min(a,b)$.

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние или просто "И").
Правило: результат равен наименьшему операнду.
Описание.
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества $~\{0, 1\}$. Результат также принадлежит множеству $~\{0, 1\}$. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений $~0, 1$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например $~false, true$ или $~F, T$ или "ложь", "истина", но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, $true > false$, при цифровом обозначении старшинство естественно $1 > 0$.
Правило: результат равен $~1$, если все операнды равны $~1$; во всех остальных случаях результат равен $~0$.

Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции

$~a$	$~b$	$~a \land b$
$~0$	$~0$	$~0$
$~0$	$~1$	$~0$
$~1$	$~0$	$~0$
$~1$	$~1$	$~1$

для тернарной конъюнкции

X	Y	Z		X $\land$ Y $\land$ Z
0	0	0		0
1	0	0		0
0	1	0		0
1	1	0		0
0	0	1		0
1	0	1		0
0	1	1		0
1	1	1		1

Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции^[1].

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике конъюнкция, в многозначных логиках называется минимум: $min(a,b)$, где $~a, b \in [0,...,n-1]$, а $n$ — значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов $0$ и $1$.

Следует отметить, что название этой операции минимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия конъюнкция, логи́ческое "И", логическое умноже́ние и просто "И" имеют смысл только в двоичной логике, а при переходе к многозначным логикам теряют смысл.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:
$~a \land b \to a$
$~a \land b \to b$
$~a \to (b \to (a \land b))$

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Основная статья: Логические элементы — конъюнкция

Логический элемент «И»

$A$	$B$	$f(AB)$
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения^[1]. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• "1" тогда и только тогда, когда на всех входах есть «1»,
• "0" тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «0»

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое "И" и побитовое (поразрядное) "И". Например, в языках C/C++ логическое "И" обозначается символом "&&", а побитовое — символом "&". В терминологии, используемой в C#, операцию "&" принято называть логическим "И", а операцию "&&" - условным "И", поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова "and", а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое "И" применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата $~false$ или $~true$. Например:

if (a & b & c) 
{
    /* какие-то действия */
};

Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов. Принцип работы условного "И" в аналогичной ситуации:

a = false; b = true; c = true;
if (a && b && c) 
{
    /* какие-то действия */ 
};

Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, т.к. дальнейшее сравнение не имеет смысла.

Результат будет равен $~true$, если оба операнда равны $~true$ (для числовых типов не равны $~0$). В любом другом случае результат будет равен $~false$.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно $~false$, то значение правого операнда не вычисляется (вместо $~b$ может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

if (a != 0 && b / a > 3) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет деления на ноль.

Побитовое "И" выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	$~01100101_2$
b =	$~00101001_2$
то
a И b =	$~00100001_2$

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как $1$, а «ложь» как $0$. При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической остроумно выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребенка» — не то же самое, что «Мэри родила ребенка и вышла замуж».

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Словарь по кибернетике /Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — К.: 1989. — 751 с., ISBN 5-88500-008-5

См. также

• Логическая операция
• Дизъюнкция
• Строгая дизъюнкция
• Импликация
• Отрицание
• Логический элемент