Теорема Стеклова

Теорема Стеклова — одна из фундаментальных теорем математической физики и теории рядов Фурье. Одно из важнейших применений теоремы Стеклова в теории дифференциальных уравнений в частных производных состоит в том, что она дает строгое математическое обоснование метода Фурье (разделения переменных) для решения смешанных краевых задач для уравнений гиперболического типа (например, уравнения колебаний струны).^[1][2] Доказана в начале XX века русским математиком В. А. Стекловым.

Любая функция $f \in C^1[a,b]$, удовлетворяющая условиям $\,f(a)=f(b)=0$, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций $\{y_n(x)\}\,$ задачи Штурма—Лиувилля, то есть $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n y_n(x), \quad c_n =\frac{(f,y_n)}{(y_n,y_n)},$ где скалярное произведение $(\cdot,\cdot)$ и ортогональность системы функций понимаются в смысле гильбертова пространства $L^2[a,b].\,$

Литература

• Стеклов В. А. Основные задачи математической физики, ч. I—II. — Петроград, 1922—1923.
• Владимиров В. С. Уравнения математической физики, — Любое издание.
• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака, — М.: Наука, 1988.

Примечания

1. ↑ Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, гл. II, раздел II.
2. ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, гл. V, параграф 26.