Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$,

Где S — вектор Пойнтинга, J — плотность тока и E — электрическое поле. Плотность энергии $u$ ($\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $\mu_0$ — магнитная постоянная).

$u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right).$

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

$\frac{\partial}{\partial t} \int_V u \ dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \ d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV$,

где $\partial V \!$ — поверхность, ограничивающая объём $V \!$ .

В технической литературе теорема обычно записывается так ($u$ — плотности энергии):

$\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0$,

где $\varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ — плотность энергии электрического поля, $\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ — плотность энергии магнитного поля и $\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$ — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Домножив обе части уравнения на $\mathbf{B}$, получим:

$\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$

Домножив обе части уравнения на $\mathbf{E}$, получим:

$\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} + \mathbf{E} \cdot \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$

Вычитая первое из второго, получим:

$\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = \mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Наконец:

$- \nabla\cdot\ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Поскольку вектор Пойнтинга $\mathbf{S}$ определяется как:

$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}$

это равносильно:

$\nabla\cdot\mathbf{S} + \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0.$

Обобщение

Механическая энергия описанной выше теоремы

$\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t),$

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

$u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)),$

$\mathbf{S_m}$ — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

$\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha} \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)).$

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

$\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e + \mathbf{S}_m\right) = 0,$

Альтернативные формы

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока $\mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ можно выбрать форму Авраама $\mathbf{E} \times \mathbf{H}$, форму Минковского $\mathbf{D} \times \mathbf{B}$, или какую-либо другую.

Для улучшения этой статьи желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.

Шаблон:DEFAULSORT:Пойнтинга теорема