Складывание рамок

Складывание рамок

Термин «Складывание рамок» (или «Склеивание ласт» (жарг.)) является переводом названия статьи Gimbal lock, относится к области гироскопии и инерциальной навигации. В области гироскопов он описывает событие, которое может происходить со свободным гироскопом в двухосном кардановом подвесе в том случае, когда внутренняя рамка гироскопа повернется на 90 градусов относительно наружной и при этом вектор кинетического момента будет направлен по оси наружной рамки. При таком расположении гироскоп потеряет свое основное свойство - сохранять направление в инерциальном пространстве, которое задается вектором кинетического момента. Явление достаточно просто описывается в рамках прецессионной теории гироскопов. В соответствии с ней линейная скорость постоянного по модулю вектора кинетического момента $\vec{L}$, равная векторному произведению векторов $\vec{\Omega}$ и $\vec{L}$ , равняется моменту $\vec{M}$, действующему на вращающийся ротор. То есть

$\vec{M}=\vec{\Omega}\times\vec{L}$

(1)

Где $\vec{\Omega}=(\Omega_{x},\Omega_{Y},\Omega_{Z})$-вектор угловой скорости трехгранника OXYZ, у которого ось OZ направлена по вектору кинетического момента, а оси OX и OY направлены так, что трехгранник OXYZ является правым. Для идеального свободного гироскопа угловая скорость $\vec{\Omega}$ равняется нулю.

Свяжем с корпусом свободного гироскопа трехгранник Oxyz, у которого ось Ox направлена по оси поворота наружной рамки. Трехгранник OXYZ получается из трехгранника Oxyz двумя последовательными поворотами на угол $\beta$ относительно оси наружной рамки, и на угол $\alpha$ относительно оси внутренней рамки. Матрица поворота от трехгранника Oxyz к трехграннику OXYZ равняется

$\begin{align} R &= \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\ 0 & 1 & 0\\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & \sin \beta \\ 0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \end{align}$

Или

$\begin{align} R &= \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha\sin\beta & 0 \\ 0 & \cos\beta & \sin\beta\\ \sin \alpha & -\cos \alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta \end{bmatrix} \end{align}$

(2)

Спроектируем равенство (1) на оси рамок, по которым действуют соответствующие моменты $M_{\alpha }$ ,$M_{\beta}$ .В результате получим

$\Omega _{X}=-\frac{M_{\alpha }}{\left| \overrightarrow{L}\right\vert }$

$\Omega _{Y}=\frac{M_{\beta }}{\left| \overrightarrow{L}\right\vert \cos \alpha }$

(3)

Очевидно, что при повороте внутренней рамки на 90 градусов скорость прецессии гироскопа становится сколь угодно большой, то есть гироскоп теряет свое основное свойство хранить направление в инерциальном пространстве, происходит складывание рамок.

В случае инерциальной навигации речь идеи о т.н. системах с гиростабилизированной платформой, на которую устанавливаются приборы, измеряющие ускорение, акселерометры. Платформа изолируется от корпуса тремя рамками, тангажа, рыскания и крена, по осям которых находятся датчики моментов. В случае отклонения платформы от, например, постоянного положения в инерциальном пространстве, расположенные на ней датчики, как правило, интегрирующие датчики угловой скорости, поплавковые гироскопы, измеряют эти отклонения, и на соответствующие датчики моментов подаются сигналы, пропорциональные этим отклонениям с целью их обнуления. В случае поворота второй рамки платформы на 90 градусов первая и третья оси платформы становятся коллинеарными, то есть пропадает возможность управления отклонением платформы по третьей оси, платформа становится лишь частично управляемой и может изменить свое стабилизированное в инерциальном пространстве положение. Таковы два случая, к которым можно применить термин складывание рамок.

В упомянутой англоязычной версии термин “Gimbal lock” применяется также к области прикладной математики в задачах параметризации углового положения абсолютно твердого тела. Эта задача заключается в задании положения подвижного декартова трехгранника относительно неподвижного с помощью некоторого числа числовых параметров. Таких способов существует несколько. Например, положение твердого тела можно задать с помощью 9 элементов прямоугольной матрицы направляющих косинусов, или 4 параметров Эйлера, или наконец кватерниона. Поскольку абсолютно твердое тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы, то для параметризации вообще говоря достаточно задать три параметра. Наиболее часто, но не всегда, в качестве таких параметров выбираются Эйлеровы углы. Для любого набора Эйлеровых углов существует ровно одно положение связанного с твердым телом подвижного трехгранника относительно неподвижного. Однако обратное утверждение не всегда справедливо. То есть существует такое положение твердого тела, при котором невозможно однозначно определить Эйлеровы углы. При стандартном выборе Эйлеровых углов в виде тангажа, рыскания и крена, это особое положение возникает при угле тангажа, равном 90 градусов .

Между прочим, такая же неоднозначность существует и при задании положения единичного вектора с помощью двух углов. Например, если в качестве таких углов выбрать азимут и возвышение над плоскостью горизонта, то при вертикальном положении определить азимут однозначно невозможно. Как мы видим, в прикладной математике проблема возникает от того, что не всегда существует взаимно однозначное соответствие между угловым положением и характеризующими его параметрами. Кажется, что это обстоятельство не сильно связано с тем, что было рассмотрено выше для свободных гироскопов и гиростабилизированной платформы. Поэтому вызывает сомнение целесообразность называть столь разные явления одним термином.

См. также

• Прецессия
• Алгоритм нормализованного 3D поворота