Ряды подгрупп

В математике ряд подгрупп — это цепь подгрупп вида $\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G$. Ряды подгрупп могут упростить изучение группы $\displaystyle G$ сводя его к изучению подгрупп этой группы и к изучению взаимосвязей между ними. Ряды подгрупп могут формировать важные инварианты заданной группы $\displaystyle G$.

Определение

Нормальный ряд, субнормальный ряд

Субнормальный ряд (называемый также нормальным рядом, нормальной башней, субинвариантным рядом, или просто рядом) группы $\displaystyle G$ — это последовательность подгрупп

$\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G,$

каждая из которых есть нормальная подгруппа в подгруппе, следующей непосредственно за ней, то есть $\displaystyle G_i\triangleleft G_{i+1}$.

Длина ряда

Ряд с дополнительным свойством $\displaystyle G_i\neq G_{i+1}$ для всех $\displaystyle i$ называется рядом без повторов; эквивалентная формулировка — это то, что $\displaystyle G_i$ есть собственная подгруппа в $\displaystyle G_{i+1}$. Длина ряда — это число собственных включений $\displaystyle G_i\varsubsetneq G_{i+1}$. Если ряд не имеет повторов, то его длина равна $\displaystyle n$.

Для субнормального ряда, его длина — это число нетривиальных факторгрупп $\displaystyle G_{i+1}/G_i$. Каждая нетривиальная группа имеет субнормальный ряд длины 1, а именно ряд $\{1\}=G_0\varsubsetneq G_1=G$. Каждая собственная нормальная подгруппа определяет субнормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является единственным возможным субнормальным рядом.

Восходящие и нисходящие ряды

Ряды подгрупп могут быть записаны в восходящем порядке

$\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G,$

либо в нисходящем порядке

$G=G_0\supseteq G_1\cdots\supseteq G_n=\{1\}.$

Для конечного ряда нет разницы в какой форме он записан — как восходящий или как нисходящий ряд. Для бесконечного ряда уже есть различие: восходящий ряд $\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_n=G,$ имеет наименьший элемент, непосредственно следующий за ним элемент, затем следующий, и так далее, но может не иметь максимального элемента, отличного от $\displaystyle G$. Нисходящий ряд $G=G_0\supseteq G_1\supseteq\cdots\supseteq G_n=\{1\}$, наоборот, имеет наибольший элемент, но может не иметь наименьшего элемента, отличного от $\displaystyle \{1\}$.

Бесконечные и трансфинитные ряды

Бесконечны ряды подгрупп также могут определяться и возникать естественным образом. В этом случае надо использовать бесконечное линейно упорядоченное индексное множество, и имеется разница между восходящими и нисходящими рядами. Восходящий ряд $\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G$, пронумерованный натуральными числами, можно назвать бесконечным восходящим рядом. Если подгруппы ряда пронумерованы порядковыми числами, то получается трансфинитный ряд^[1]. Примером может служить следующий восходящий трансфинитный ряд:

$\{1\}=G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G_\omega\subseteq G_{\omega+1}=G.$

Если задана рекурсивная формула для элементов ряда, то можно определять трансфинитный ряд при помощи трансфинитной рекурсии. При этом на предельных порядковых числах элементы восходящего трансфинитного ряда задаются формулой

$G_\lambda= \bigcup_{\alpha < \lambda} G_\alpha,$

а элементы нисходящего трансфинитного ряда — формулой

$G_\lambda= \bigcap_{\alpha < \lambda} G_\alpha.$

Другие линейно упорядоченные множества редко возникают в качестве индексирующих множеств в рядах подгрупп. Например, можно рассмотреть двусторонне-бесконечный ряд подгрупп, индексированный целыми числами:

$\{1\}\subseteq\cdots\subseteq G_{-1}\subseteq G_0\subseteq G_1\subseteq\cdots\subseteq G.$

Сравнение рядов

Уплотнение ряда подгрупп — это другой ряд подгрупп, содержащий каждый элемент первоначального ряда. Понятие уплотнения задаёт частичный порядок на множестве рядов подгрупп заданной группы, ряды подгрупп образуют решётку по отношению к такому упорядочению, а субнормальные и нормальные ряды образуют подрешётки этой решётки. Особый интерес представляют в определённом смысле максимальные ряды без повторов.

Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, если есть биективное отображение, связывающее множества их факторгрупп, такое, что соответствующие факторгруппы изоморфны.

Максимальные ряды

Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.

В классе конечных субнормальных рядов максимальность означает, что каждая факторгруппа $\displaystyle G_{i+1}/G_i$ простая, то есть конечный композиционный ряд — это конечный субнормальный ряд с простыми факторгруппами $\displaystyle G_{i+1}/G_i$.

В классе восходящих трансфинитных субнормальных рядов максимальность связана с понятием трансфинитной сверхпростоты^{[1][неавторитетный источник?]} (hypertranssimplicity).

Группа $\displaystyle G$ называется трансфинитно сверхпростой^{[источник не указан 781 день]}, если она не имеет восходящих субнормальных рядов без повторов (конечных либо трансфинитных), отличных от тривиального ряда $\{1\}=G_0\varsubsetneq G_1=G$.

Восходящий трансфинитный субнормальный ряд является композиционным рядом, если все его факторгруппы $\displaystyle G_{i+1}/G_i$ трансфинитно сверхпросты.

Открытые проблемы

1. Всякая трансфинитно сверхпростая группа является простой. То есть класс трансфинитно сверхпростых групп составляет подкласс в классе простых групп. Остается открытым вопрос о совпадении или несовпадении этих классов. Требуется построить пример простой группы, которая не является трансфинитно сверхпростой, либо доказать, что таких групп не существует.

Список литературы

1. ↑ ^{1 2} Sharipov, R.A. (2009), "Transfinite normal and composition series of groups", arΧiv:0908.2257 [math.GR]