Псевдодуга

Псевдодуга — простейший пример континуума $K$, который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум $K$ не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.

Связанные определения

• континуум назовается змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие ${U_i}$, $i\in\{1,2,\dots,n\}$ такое, что $U_i\cap U_j\not=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $|i-j|\le 1$.

Свойства

• Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
• Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
  • В частности, псевдодуга не содержит Жордановых дуг
• Существует область $\Omega$ в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум $\partial\Omega$ гомеоморфен псевдодуге.
• Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
• В пространстве всех подконтинуумов куба $[0,1]^n$, $n>1$ с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное $G_\delta$-множество.
• Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

История

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910-ом году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером (польск.) ^[1], и вскоре пример был построена Кнастером^[2]

Литература

1. ↑ Knaster, B.; Kuratowski, C. Sur les ensembles connexes. Fundamenta math. 2, 206—255 (1921).
2. ↑ Knaster, B. Un continu dont tout sous-continu est indécomposable. Fundamenta math. 3, 247—286 (1922).